При вивченні стереометрії однією з головних тем стає «Циліндр». Площа бічної поверхні вважається якщо не головною, то важливою формулою при рішенні геометричних задач. Однак важливо пам’ятати і визначення, які допоможуть зорієнтуватися в прикладах і при доведення різних теорем.
Поняття циліндра
Спочатку потрібно розглянути кілька визначень. Тільки після їх вивчення можна приступати до розгляду питання про формулу площі бічної поверхні циліндра. На основі цього запису можна обчислити і інші вирази.
- Під циліндричною поверхнею розуміють площину, описувану твірної, що рухається і залишається паралельної заданому напрямку, ковзної за наявною кривої.
- Є і друге визначення: циліндричну поверхню утворюють безліч паралельних прямих, які перетинають задану криву.
- Утворює називають умовно висоту циліндра. При її переміщенні навколо осі, що проходить через центр основи, виходить позначене геометричне тіло.
- Під віссю передбачають пряму, що проходить через обидва підстави фігури.
- Циліндром називається стереометрическое тіло, обмежене пересічними бічною поверхнею і 2 паралельними площинами.
Існують різновиди цієї об’ємної фігури:
- Під круговим увазі циліндр, напрямна якого – це коло. Його головними складовими вважаються радіус основи і утворює. Остання дорівнює висоті фігури.
- Існує прямий циліндр. Свою назву він отримав завдяки перпендикулярності твірної до підстав фігури.
- Третій вид – скошений циліндр. У підручниках можна зустріти й інша його назва «круговий циліндр зі скошеним підставою». Дану фігуру визначає радіус основи, мінімальна і максимальна висоти.
- Під рівностороннім циліндром розуміють тіло, що має рівні між собою висоту і діаметр круглої площині.
Умовні позначення
Традиційно основні «компоненти» циліндра прийнято називати наступним чином:
- Радіус основи – R (він же замінює аналогічну величину стереометрической фігури).
- Твірна – L.
- Висота – H.
- Площа основи – Ѕосн (інакше кажучи, необхідно знайти вказаний параметр кола).
- Висоти скошеного циліндра – h1,h2 (мінімальна і максимальна).
- Площа бічної поверхні – Ѕбок (якщо її розгорнути, то вийде свого роду прямокутник).
- Обсяг стереометрической фігури – V.
- Площа повної поверхні – S.
«Компоненти» стереометрической фігури
Коли вивчається циліндр, площа бічної поверхні відіграє важливу роль. Пов’язано це з тим, що дана формула входить у кілька інших, більш складних. Тому необхідно бути добре підкованим в теорії.
Основними складовими фігури є:
- Бічна поверхня. Як відомо, вона виходить завдяки руху твірної по заданої кривої.
- Повна поверхня включає в себе наявні підстави і бічну площину.
- Перерізом циліндра, як правило, виступає прямокутник, розташований паралельно осі фігури. Інакше його називають площиною. Виявляється, довжина і ширина за сумісництвом є складовими інших фігур. Так, умовно довжинами перетину є утворюють. Ширина – паралельні хорди стереометрической фігури.
- Під осьовим перерізом увазі розташування площини через центр тіла.
- І нарешті, останнє визначення. Дотичної називають площину, що проходить через твірну циліндра і знаходиться під прямим кутом до осьового перерізу. При цьому повинно виконатися одна умова. Зазначена утворює повинна входити в площині осьового перерізу.
Основні формули для роботи з циліндром
Для того щоб відповісти на питання, як знайти площу поверхні циліндра, необхідно вивчити основні «компоненти» стереометрической фігури та формули їх знаходження.
Дані формули відрізняються тим, що спочатку даються вирази для скошеного циліндра, а потім – для прямого.
Приклади з розібраним рішенням
Завдання 1.
Необхідно дізнатися площу бічної поверхні циліндра. Дана діагональ перерізу AC = 8 см (причому воно є осьовим). При зіткненні з твірною виходить
Рішення. Оскільки відомі величини діагоналі і кута, то в такому випадку:
- CD = AC*cos 30°.
Коментар. Трикутник ACD, в конкретному прикладі, прямокутний. Це означає, що приватне від ділення CD і AC = косинусу наявного кута. Значення тригонометричних функцій можна знайти в спеціальній таблиці.
Аналогічно, можна знайти і значення AD:
- AD = AC*sin 30°
Тепер необхідно обчислити по наступному формулюванні потрібний результат: площа бічної поверхні циліндра дорівнює подвоєному результатом перемноження «пі», радіуса фігури і її висоти. Варто скористатися іншою формулою: площею основи циліндра. Вона дорівнює результату множення «пі» квадрат радіуса. І нарешті, остання формула: загальна площа поверхні. Вона дорівнює сумі попередніх двох площ.
Завдання 2.
Дані циліндри. Їх обсяг = 128*п см3. У якого з циліндрів найменша повна поверхня?
Рішення. Для початку потрібно скористатися формулами знаходження об’єму фігури і її висоти.
Оскільки площа повної поверхні циліндра відома з теорії, необхідно застосувати її формулу.
Якщо розглядати отриману формулу як функції площі циліндра, то мінімальний показник буде досягнуто у точці екстремуму. Для отримання останнього значення необхідно скористатися диференціюванням.
Формули можна подивитися в спеціальній таблиці щодо знаходження похідних. Надалі знайдений результат прирівнюється до нуля і знаходиться розв’язок рівняння.
Відповідь: Smin буде досягнута при h = 1/32 см, R = 64 див.
Завдання 3.
Дана стереометрическая фігура – циліндр і перетин. Останнє проведено таким чином, що розташовується паралельно осі стереометрического тіла. У циліндра наступні параметри: ВК = 17 см, h = 15 см, R = 5 див. Необхідно знайти відстань між перерізом і віссю.
Рішення.
Оскільки під перерізом циліндра розуміється ВСКМ, тобто прямокутник, то його сторона ВМ = h. Необхідно розглянути ВМК. Трикутник є прямокутним. Виходячи з цього твердження, можна вивести вірне припущення, що МК = ВС.
ВК2 = ВМ2 + МК2
МК2 = ВК2 – ВМ2
МК2 = 172 – 152
МК2 = 64
МК = 8
Звідси можна зробити висновок, що МК = ВС = 8 див.
Наступний крок – проведення розтину через основа фігури. Необхідно розглянути отриману площину.
AD – діаметр стереометрической фігури. Він паралельний перерізу, згаданого в умові задачі.
BC – пряма, розташована на площині наявного прямокутника.
ABCD – трапеція. У конкретному випадку вона вважається равнобедренной, оскільки навколо неї описана окружність.
Якщо знайти висоту одержаної трапеції, то можна отримати відповідь, поставлене на початку завдання. А саме: знаходження відстані між віссю і проведеним перетином.
Для цього необхідно знайти величини AD і ОС.
Відповідь: перетин розташовується 3 см від осі.
Завдання на закріплення матеріалу
Приклад 1.
Даний циліндр. Площа бічної поверхні використовується в подальшому вирішенні. Відомі інші параметри. Площа основи – Q, площа осьового перерізу – М. Необхідно знайти S. Іншими словами, повну площа циліндра.
Приклад 2.
Даний циліндр. Площа бічної поверхні необхідно знайти в одному з кроків вирішення завдання. Відомо, що висота = 4 см, радіус = 2 див. Необхідно знайти повну площу стереометрической фігури.
