Основні формули для роботи з циліндром
Для того щоб відповісти на питання, як знайти площу поверхні циліндра, необхідно вивчити основні «компоненти» стереометрической фігури та формули їх знаходження.
Дані формули відрізняються тим, що спочатку даються вирази для скошеного циліндра, а потім – для прямого.
Приклади з розібраним рішенням
Завдання 1.
Необхідно дізнатися площу бічної поверхні циліндра. Дана діагональ перерізу AC = 8 см (причому воно є осьовим). При зіткненні з твірною виходить
Рішення. Оскільки відомі величини діагоналі і кута, то в такому випадку:
- CD = AC*cos 30°.
Коментар. Трикутник ACD, в конкретному прикладі, прямокутний. Це означає, що приватне від ділення CD і AC = косинусу наявного кута. Значення тригонометричних функцій можна знайти в спеціальній таблиці.
Аналогічно, можна знайти і значення AD:
- AD = AC*sin 30°
Тепер необхідно обчислити по наступному формулюванні потрібний результат: площа бічної поверхні циліндра дорівнює подвоєному результатом перемноження «пі», радіуса фігури і її висоти. Варто скористатися іншою формулою: площею основи циліндра. Вона дорівнює результату множення «пі» квадрат радіуса. І нарешті, остання формула: загальна площа поверхні. Вона дорівнює сумі попередніх двох площ.
Завдання 2.
Дані циліндри. Їх обсяг = 128*п см3. У якого з циліндрів найменша повна поверхня?
Рішення. Для початку потрібно скористатися формулами знаходження об’єму фігури і її висоти.
Оскільки площа повної поверхні циліндра відома з теорії, необхідно застосувати її формулу.
Якщо розглядати отриману формулу як функції площі циліндра, то мінімальний показник буде досягнуто у точці екстремуму. Для отримання останнього значення необхідно скористатися диференціюванням.
Формули можна подивитися в спеціальній таблиці щодо знаходження похідних. Надалі знайдений результат прирівнюється до нуля і знаходиться розв’язок рівняння.
Відповідь: Smin буде досягнута при h = 1/32 см, R = 64 див.
Завдання 3.
Дана стереометрическая фігура – циліндр і перетин. Останнє проведено таким чином, що розташовується паралельно осі стереометрического тіла. У циліндра наступні параметри: ВК = 17 см, h = 15 см, R = 5 див. Необхідно знайти відстань між перерізом і віссю.
Рішення.
Оскільки під перерізом циліндра розуміється ВСКМ, тобто прямокутник, то його сторона ВМ = h. Необхідно розглянути ВМК. Трикутник є прямокутним. Виходячи з цього твердження, можна вивести вірне припущення, що МК = ВС.
ВК2 = ВМ2 + МК2
МК2 = ВК2 – ВМ2
МК2 = 172 – 152
МК2 = 64
МК = 8
Звідси можна зробити висновок, що МК = ВС = 8 див.
Наступний крок – проведення розтину через основа фігури. Необхідно розглянути отриману площину.
AD – діаметр стереометрической фігури. Він паралельний перерізу, згаданого в умові задачі.
BC – пряма, розташована на площині наявного прямокутника.
ABCD – трапеція. У конкретному випадку вона вважається равнобедренной, оскільки навколо неї описана окружність.
Якщо знайти висоту одержаної трапеції, то можна отримати відповідь, поставлене на початку завдання. А саме: знаходження відстані між віссю і проведеним перетином.
Для цього необхідно знайти величини AD і ОС.
Відповідь: перетин розташовується 3 см від осі.
