Піраміда – це тривимірна фігура, основу якої представляє собою багатокутник, а бічні сторони трикутниками. Шестикутна піраміда – її окремий вид. Крім того, існують інші варіації, коли в підставі трикутника (така фігура називається тетраедр) знаходиться квадрат, прямокутник, п’ятикутник і так далі по наростанню. Коли кількість точок стає нескінченним, то виходить конус.
Шестикутна піраміда
В цілому це одна з останніх і найбільш складних тем в стереометрії. Вивчається десь в 10-11 класах і розглядається варіант, коли у підставі знаходиться правильна фігура. Одне з найважчих завдань ЄДІ часто буває пов’язане з цим параграфом.
І-так, в основі правильної шестикутної піраміди лежить правильний шестикутник. Що це означає? Біля фігури на підставі всі сторони рівні. Бічні ж частини складаються з рівнобедрених трикутників. Вершини їх стикаються в одній точці. Дана фігура представлена на фото нижче.
Як знайти площу всієї поверхні та об’єм шестикутної піраміди?
На відміну від математики, яку викладають в університетах, шкільна наука навчає обходити стороною і спрощувати деякі складні поняття. Наприклад, якщо не відомо, як знайти площу фігури, то доводиться ділити її на частини і вже за відомими формулами площ фігур розділених знаходити відповідь. Таким принципом треба наслідувати і в наведеному випадку.
Тобто, щоб знайти площу поверхні всієї шестикутної піраміди, треба знайти площу основи, потім площу одній з бічних сторін і помножити на 6.
Застосовуються такі формули:
S (повна) = 6S (бічної сторони) + S (підстави) , (1);
S (підстави) = 3√3 / 2a2 , (2);
6S (бічної сторони) = 6×1 / 2ab = 3ab , (3);
S (повна) = 3ab + (3√3 / 2a2) = 3(2a2b + √3) / 2a2 , (4).
Де S – площа, см2;
a – довжина основи, см;
b – апофема (висота бічної грані), див.
Для того щоб знайти площу всієї поверхні або якоїсь її складової, потрібно всього лише сторона підстави шестикутної піраміди і апофема. Якщо в задачі дано це в умові, то рішення не повинно скласти праці.
З об’ємом справи йдуть набагато легше, але щоб його знайти, потрібна висота (h) самої шестикутної піраміди. Ну і, звичайно ж, сторона підстави, завдяки якій потрібно знайти її площа.
Формула виглядає наступним чином:
V = 1/3 × S (підстави) × h , (5).
Де V – об’єм, см3;
h – висота фігури, див.
Варіант завдання, який може попастися на іспиті
Умова. Дана правильна шестикутна піраміда. Довжина основи дорівнює 3 см. Висота становить 5 див. Знайти обсяг цієї фігури.
Рішення: V = 1/3 × (3√3/2 × 32) × 5 = 5/3 × √3/6 = 5√3/18.
Відповідь: об’єм правильної шестикутної піраміди складає 5√3/18 див.
