Чотирикутники, як приватний випадок багатокутників, дуже важлива тема, що вивчається в шкільному курсі геометрії. Сучасна програма передбачає ознайомлення з цим матеріалом у восьмому класі. В рамках шкільного навчання розглядаються виключно опуклі чотирикутники. Інші ж вивчаються на рівні вищих навчальних закладів.
Вивчення чотирикутників відбувається в різних програмах вивчення геометрії неоднаково. Порядок введення поняття залежить від послідовності подачі матеріалу про багатокутниках.
Порядок вивчення чотирикутників
В одному випадку чотирикутник розглядається як окремий випадок багатокутника, в іншому — визначається як сукупність відрізків і точок, розташованих на їх перетині, числом чотири. При цьому повинні виконуватися умови неналежність будь-яких з цих трьох точок одній прямій, і відсутність перетинів, крім як у вершинах.
У більшості шкіл Чотирикутники вивчаються у восьмому класі. Вивчивши спочатку паралельність прямих, потім теорему про суму кутів багатокутника, переходять до параллелограмму. Розглянувши його ознаки і довівши пов’язані з ними теореми, переходять до іншим приватним випадків, отримуючи відповіді на питання: який чотирикутник називається квадратом, ромбом, прямокутником і різними видами трапецій.
Ще один підхід – вивчення чотирикутників при розгляді теми подібних фігур. Тут також послідовно вивчаються чотирикутники починаючи з паралелограма. Визначається – який чотирикутник називається прямокутником, трапецією. І звичайно, докладно розглядається, якими фігурами можуть бути інші чотирикутники.
Класифікація фігур з чотирма кутами
Який чотирикутник називається квадратом? З’ясувати це можна, вивчивши всі фігури, що мають відношення до даної по порядку. Першим в нашу увагу потрапить об’єкт, званий паралелограмом. Він утворюється чотирма прямими попарно паралельними і пересічними. Окремо визначаються випадки, коли це відбувається під кутами в дев’яносто градусів і ті, в яких всі відрізки, утворені таким перетинами, мають одну довжину. На завершення, з’ясуємо, який чотирикутник називається трапецією.
Чотирикутники, звані опуклими
Зупинимося на поняттях опуклих, а також неопуклих чотирикутників. Ця відмінність має велике значення, так як у шкільній програмі вивчаються тільки перші з них.
Який чотирикутник називається опуклим? Для того щоб розібратися в цьому послідовно, проведемо через всі сторони фігури прямі лінії. Якщо у всіх випадках весь чотирикутник лежить в одній з двох півплощин утворених цієї прямої – він опуклий. В іншому випадку, відповідно, неопуклі.
Звичайний паралелограм
Тепер розглянемо основні види опуклих чотирикутників. Почнемо з паралелограма. Вище ми наводили визначення цієї фігури. Крім визначення варто відзначити кілька властивостей цього опуклого многокутника.
Сторони паралелограма, що знаходяться навпроти один одного рівні. Також дорівнюють один одному і протилежні кути.
Перетин відрізків, називаються діагоналями, утворює кут в дев’яносто градусів. Якщо підсумувати квадрати їх довжин, то вони складуть суму квадратів граней фігури. Кожен такий відрізок утворює два однакових трикутника і чотири рівновеликі.
Будь-які два сусідні кута при складанні дадуть сто вісімдесят градусів.
При констатації факту, що геометрична фігура володіє цими властивостями, можна стверджувати, що вона – паралелограм. Таким чином, ми отримаємо ознаки цього чотирикутника, що визначають приналежність фігури саме до цього класу.
Площу можна знайти двома способами. Першим буде пошук твори синуса кута і довжин, прилеглих до нього сторін. Другий спосіб – визначення результату множення довжин висоти і лежить навпроти неї межі.
Ромб
Який чотирикутник ромбом називається? Такий, у якого всі з утворюючих його сторін дорівнюють між собою. Ця геометрична фігура володіє всіма властивостями і ознаками паралелограма. Ще однією властивістю є факт, що в цю фігуру завжди вписується коло.
Паралелограм, сусідні сторони якого рівні, однозначно визначається, як ромб. Площа можна обчислити як добуток квадрата боку на синус одного з кутів.
Прямокутник
Який чотирикутник називається прямокутником? Такий, який володіє кутами в дев’яносто градусів. Так як він теж є паралелограмом, на нього поширюються властивості і ознаки цього чотирикутника. Також про прямокутнику можна сказати наступне:
- Діагоналі цієї фігури мають однакову довжину.
- Площа визначається шляхом множення сторін один на одного.
- У випадку, коли кут паралелограма становить дев’яносто градусів – можна стверджувати, що це прямокутник.
Квадрат
Наступний питання з тих, що ми розглянемо в цій публікації, – який чотирикутник називається квадратом? Це фігура, що володіє рівними сторонами і кутами в дев’яносто градусів. Виходячи із зазначених вище параметрів, вона володіє всіма тими ж властивостями, якими володіють квадрат і ромб. Відповідно має також їх ознаки.
До особливостей квадрата можна віднести унікальні властивості ліній, що з’єднують його протилежні вершини і називаються діагоналями. Вони мають одну довжину і перетинаються під прямим кутом.
Прикладне значення квадрата складно переоцінити. Завдяки своїй універсальності, простоті визначення площі та розмірів, ця постать широко використовується в якості еталонної заходи. Число зведена в другу ступінь стійко називається математиками квадратом. За допомогою квадратних одиниць вимірюють площу, здійснюють інтеграцію і загальні наближення розмірів на площині. Широко ця геометрична концепція використовується в архітектурі і ландшафтному дизайні.
Трапеція
Далі слід розглянути який чотирикутник називається трапецією. Це буде фігура, що має розташовані паралельно один одному боку, звані підставами і непаралельні сторони, визначаються бічними. Вона утворена чотирма гранями і такою ж кількістю кутів. Коли ці непаралельні відрізки рівні, трапецію визначають як равнобокую. У разі, якщо у фігури кут дорівнює дев’яносто градусів, вона буде вважатися прямокутної.
Такий чотирикутник, який називається трапецією має ще один особливий елемент. Лінію, яка з’єднує центри бічних сторін, називається середньою. Довжину її можна визначити, знайшовши одну другу результату додавання довжин сторін, які визначаються, як підстави фігури.
У равнобедренной трапеції так само, як і у рівнобедреного трикутника, довжини діагоналі і кути між бічними сторонами і підстав рівні.
Навколо такої трапеції завжди можливо опис колу.
Вписується коло у таку фігуру, сума довжин бічних сторін якої однакова з результатом складання її підстав.
Загальні висновки по темі
На закінчення можна сказати, що в курсі геометрії досить доступно і докладно розглянуто питання про те, який чотирикутник називається квадратом. Незважаючи на те, що в різних підручниках ми можемо зустріти деякі відмінності в послідовності викладу позначених вище тим, всі вони вичерпно висвітлюють тему чотирикутників.
