Двогранні кути фігури
Коли розглядаються геометричні задачі на площині, то будь-кут утворений двома пересічними прямими, або відрізками. У просторі до цих лінійним кутах додаються двогранні, утворені перетином двох площин.
Якщо зазначене визначення кута в просторі застосувати до даної фігури, то можна сказати, що існує два види двогранних кутів:
- При основі піраміди. Він утворений площиною підстави і будь-який з бічних граней (трикутником). Це означає, що кутів при основі у піраміди n, де n – число сторін багатокутника.
- Між бічними сторонами (трикутниками). Кількість цих двогранних кутів дорівнює n штук.
Зауважимо, що перший тип розглянутих кутів будується на ребрах підстави, другий тип – на бічних ребрах.
Як розрахувати кути піраміди?
Лінійний кут двогранного кута є мірою останнього. Обчислити його непросто, оскільки грані піраміди, на відміну від граней призми, не перетинаються під прямими кутами в загальному випадку. Надійніше всього проводити розрахунок значень двогранних кутів з використанням рівнянь площини в загальному вигляді.
У тривимірному просторі площина задається наступним виразом:
A*x + B*y + C*z + D = 0
Де A, B, C, D – це деякі дійсні числа. Зручністю цього рівняння є те, що перші три зазначених числа є координатами вектора, що перпендикулярний до заданої площини, тобто:
n = [A; B; C]
Якщо відомі координати трьох точок, що належать площині, то, взявши векторний добуток двох векторів, побудованих на цих точках, можна отримати координати n. Вектор n називається направляючим для площини.
Згідно з визначенням, двогранний кут, утворений перетином двох площин, дорівнює лінійному куті між їх напрямними векторами. Припустимо, що ми маємо дві площини, нормальні вектори яких дорівнюють:
n1 = [A1; B1; C1];
n2 = [A2; B2; C2]
Для обчислення кута φ між ними можна скористатися властивістю скалярного твори, тоді відповідна формула приймає вигляд:
φ = arccos(|(n1*n2)|/(|n1|*|n2|))
Або в координатній формі:
φ = arccos(|A1*A2 + B1*B2 + C1*C2|/(√(A12 + B12+C12)*√(A22 + B22 + C22)))
Покажемо, як використовувати викладену методику розрахунку двогранних кутів при рішенні геометричних задач.
