Кути правильної трикутної піраміди
На малюнку нижче дана піраміда, основою якої є правильний трикутник. Відомо, що двогранний кут між бічними сторонами є прямим. Необхідно обчислити площу підстави, якщо відомо, що висота фігури дорівнює 15 див.
Двогранний кут, рівний 90 o, на малюнку позначене як ABC. Вирішити задачу можна, застосовуючи викладену методику, проте в даному випадку зробимо простіше. Позначимо сторону трикутника a, висоту фігури – h, апофему – hb і бічне ребро – b. Тепер можна записати наступні формули:
S = 1/2*a*hb;
b2 = hb2 + a2/4;
b2 = h2 + a2/3
Оскільки два бічних трикутника в піраміді є однаковими, то сторони AB і CB рівні і є катетами трикутника ABC. Позначимо їх довжину x, тоді:
x = a/√2;
S = 1/2*b*a/√2
Прирівнюючи площі бічних трикутників і підставляючи апофему у відповідний вираз, маємо:
1/2*a*hb = 1/2*b*a/√2 =>
hb = b/√2;
b2 = b 2/2 + a2/4 =>
b = a/√2;
a2/2 = h2 + a2/3 =>
a = h*√6
Площа рівностороннього трикутника розраховується так:
S = √3/4*a2 = 3*√3/2*h2
Підставляємо значення висоти з умови задачі, отримуємо відповідь: S = 584,567 см2.
