Кути правильної чотирикутної піраміди
Припустимо, що є правильна піраміда, в основі якої знаходиться квадрат зі стороною 10 см. Висота фігури дорівнює 12 див. Необхідно обчислити, чому дорівнюють двогранні кути при основі піраміди і для її бічних сторін.
Оскільки задана в умові задачі фігура є правильною, тобто володіє високою симетрією, то всі кути при підставі рівні один одному. Також є однаковими кути, утворені боковими гранями. Щоб обчислити необхідні двогранні кути, знайдемо направляючі вектори для основи і двох бічних площин. Позначимо довжину сторони основи буквою a, а висоту h.
Малюнок вище показує правильну чотирикутну піраміду. Випишемо координати точок A, B, C і D відповідно введеної системою координат:
A(a/2; -a/2; 0);
B(a/2; a/2; 0);
C (a/2; a/2; 0);
D(0; 0; h)
Тепер знайдемо направляючі вектори для площин підстави ABC і двох бічних сторін ABD і BCD відповідно до викладеної в пункті вище методикою:
Для ABC:
AB = (0; a; 0); AC = (-a; a; 0); n1 = [AB*AC] = (0; 0; a2)
Для ABD:
AB = (0; a; 0); AD = (-a/2; a/2; h); n2 = [AB*AD] = (a*h; 0; a2/2)
Для BCD:
BC = (-a; 0; 0); BD = (-a/2; -a/2; h); n3 = [BC BD] = (0; a*h; a2/2)
Тепер залишається застосувати відповідну формулу для кута φ і підставити значення сторони і висоти з умови задачі:
Кут між ABC і ABD:
(n1*n2) = a4/2; |n1| = a2; |n2| = a*√(h2 + a2/4);
φ = arccos(a4/2/(a2*a*√(h2 + a2/4))) = arccos(a/(2*√(h2 + a2/4))) = o 67,38
Кут між ABD і BDC:
(n2*n3) = a4/4; |n2| = a*√(h2 + a2/4) ; |n3| = a*√(h2 + a2/4);
φ = arccos(a4/(4*a2*(h2+a2/4)) = arccos(a2/(4*(h2+a2/4))) = o 81,49
Ми вирахували значення кутів, які потрібно знайти за умовою задачі. Отримані при рішенні задачі формули можна використовувати для визначення двогранних кутів чотирикутних правильних пірамід з будь-якими значеннями a і h.
