Базовими геометричними елементами є точка, пряма та площина. Вони називаються так тому, що з них можна побудувати багато об’єкти, наприклад, такі як піраміда або призма. Щоб зрозуміти властивості цих фігур, важливо знати взаємне розміщення у просторі прямих і площин. Розглянемо докладніше це питання в статті.
Визначення та опис точки, прямої і площини
Точкою в геометрії називається 0-мірний об’єкт, єдиною характеристикою якого є його координати. Останні являють собою набір чисел, прив’язаний до конкретної системи. Наприклад, на площині він складається з двох елементів, у тривимірному просторі – з трьох.
Пряма – це одновимірний об’єкт, який володіє певним напрямком. Якщо з’єднати будь-які дві її точки, то вийде вектор, який характеризує її. Для опису прямих використовують декілька типів рівнянь, які з допомогою нескладних математичних операцій можуть бути переведені один в одного. Тут наведемо лише векторне, яке часто застосовується для аналізу взаємного розташування в просторі прямих. Воно для тривимірного випадку приймає форму:
(x; y; z) = (x0; y0; z0) + α*(a; b; c)
Елементи з нульовими індексами відповідають деякій точці, яка є частиною прямої. Координати, які множаться на параметр α (альфа) описують її напрямний вектор, вздовж якого вона проходить. Підставляючи довільні числа α можна знайти всі точки, які утворюють пряму в просторі.
Очевидно, що для векторного рівняння в двовимірному просторі необхідно використовувати лише дві координати точок і векторів.
Площина є сукупністю точок. Утворені на них вектора перпендикулярні деякого напрямку, що задається нормальним до площини вектором. Все це можна описати кількома способами. Тим не менш, для розв’язання задач на визначення взаємного розташування площини і прямої зручно користуватися рівнянням загального виду. Воно записано нижче:
A*x + B*y + C*z + D = 0
Зручність цієї форми запису полягає в тому, що коефіцієнти A, B, C є координатами перпендикулярного вектора n до площини.
При вирішенні завдань важливо враховувати, в якому просторі вирішується проблема. Так, наведений вид рівняння площини у двовимірному випадку без координати z буде відповідати рівнянню прямої.
