Завдання з двома прямими на площині
Нижче наведено два рівняння в загальному вигляді для прямих у двовимірному просторі:
2*x – y = 7;
-3*x + 2*y = 0.
Необхідно визначити взаємне розташування прямих.
Оскільки має місце випадок на площині, то немає необхідності наводити ці рівняння до векторному вигляді. Вирішити задачу можна спростити, якщо знайти корені системи з цих них. Маємо:
2*x – y = 7 => y = 2*x – 7;
-3*x + 2*y = 0 => -3*x + 2*(2*x – 7) = 0 =>
x = 14; y = 21.
Оскільки система має єдине рішення, то воно відповідає перетину даних прямих у точці (14; 21).
Завдання з двома прямими в просторі
Дано дві прямі, які описуються рівняннями:
r1: (x; y; z) = (1 ; -2; 0 ) + α*(2; -1; 1);
r2: (x; y; z) = (2; 2; 1) + β*(0; 3; -1).
Яке взаємне розташування прямих у просторі?
Можна помітити, що направляючі вектори паралельними не є ніяке значення параметра β не здатне дати направляючий вектор r1). Тобто прямі або перетинаються, або є мимобіжними.
Обчислимо відстань між ними. Для цього на r1 візьмемо точку M1(1; -2; 0), а на r2 – точку M2(2; 2; 1). Тоді вектор, який сполучає їх, дорівнює:
M1M2 = (1; 4; 1).
Його векторне твір з напрямним вектором для r1 дорівнює:
[(1; 4; 1)*(2; -1; 1)] = (5; 1; -9).
Оскільки довжина цього вектора відмінна від нуля, отже, відстань між прямими буде більше нуля. Останній факт свідчить, що вони не мають спільних точок і є мимобіжними.
