У геометрії для вивчення фігур використовують дві важливі характеристики: довжини сторін і кути між ними. У випадку просторових фігур цим характеристиками додаються двогранні кути. Розглянемо, що це таке, а також опишемо методику визначення цих кутів на прикладі піраміди.
Поняття про двугранном вугіллі
Кожен знає, що дві пересічні прямі утворюють деякий кут з вершиною в точці їх перетину. Цей кут можна виміряти за допомогою транспортира або скористатися тригонометричними функціями для його обчислення. Утворений двома прямими кут називається лінійним.
Тепер уявімо, що в тривимірному просторі є дві площини, що перетинаються по прямій. Вони зображена на малюнку.
Двугранным кутом називається кут між двома пересічними площинами. Так само як і лінійний, він вимірюється в градусах або радіанах. Якщо до будь-якої точки прямої, по якій площині перетинаються, відновити два перпендикуляра, що лежать в цих площинах, то кут між ними буде шуканим двугранным. Визначити цей кут простіше всього, якщо скористатися рівняннями площин у загальному вигляді.
Рівняння площин і формула для кута між ними
Рівняння будь-якої площини у просторі в загальному вигляді записується так:
A × x + B × y + C × z + D = 0.
Тут x, y, z – це координати точок, що належать площині, коефіцієнти A, B, C, D – деякі відомі числа. Зручність цієї рівності для обчислення двогранних кутів полягає в тому, що воно в явному вигляді містить координати направляючого вектора площини. Будемо позначати його n. Тоді:
n = (A; B; C).
Вектор n перпендикулярний площині. Кут між двома площинами дорівнює куту між їх напрямними векторами n1 і n2. З математики відомо, що кут, утворений двома векторами, однозначно визначається з їх скалярного добутку. Це дозволяє записати формулу для обчислення двогранного кута між двома площинами:
φ = arccos (|(n1 × n2)| / (|n1| × |n2|)).
Якщо підставити координати векторів, то формула запишеться у явному вигляді:
φ = arccos (|A1 × A2 + B1 × B2 + C1 × C2| / (√(A12 + B12 + C12) × √(A22 + B22 + C22))).
Знак модуля в чисельнику використовується, щоб визначити тільки гострий кут, оскільки двогранний кут завжди менше або дорівнює 90o.
Піраміда та її кути
Пірамідою називають фігуру, яка утворена одним n-кутником і n трикутниками. Тут n – ціле число, рівне кількості сторін багатокутника, який є підставою піраміди. Ця просторова фігура є многогранником або полиэдром, оскільки вона складається з плоских граней (сторін).
Двогранні кути багатогранника-піраміди можуть бути двох типів:
- між підставою і бічною стороною (трикутником);
- між двома бічними сторонами.
Якщо розглядається піраміда правильна, то названі кути для неї визначити нескладно. Для цього за координатами трьох відомих точок слід скласти рівняння площин, а потім скористатися наведеною в пункті вище формулою для кута φ.
Нижче наведемо приклад, в якому покажемо, як знайти двогранні кути при основі піраміди правильної чотирикутної.
Правильна чотирикутна піраміда і кут при її підставі
Припустимо, що дана правильна піраміда з квадратною основою. Довжина сторони квадрата дорівнює a, висота фігура становить h. Знайдемо кут між основою піраміди і її бічною стороною.
Помістимо початок координатної системи в центр квадрата. Тоді координати точок A, B, C, D, показаних на малюнку, будуть рівні:
A = (a/2; -a/2; 0);
B = (a/2; a/2; 0);
C = (-a/2; a/2; 0);
D = (0; 0; h).
Розглянемо площині ACB і ADB. Очевидно, що направляючий вектор n1 для площини ACB буде дорівнює:
n1 = (0; 0; 1).
Для визначення направляючого вектора n2 площині ADB поступимо таким чином: знайдемо довільні два вектори, які їй належать, наприклад, AD і AB, потім, обчислимо їх векторний добуток. Його результат дасть координати n2. Маємо:
AD = D – A = (0; 0; h) – (a/2; -a/2; 0) = (-a/2; a/2; h);
AB = B – A = (a/2; a/2; 0) – (a/2; -a/2; 0) = (0; a; 0);
n2 = [AD × AB] = [(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)] = (-a × h; 0; -a2/2).
Оскільки множення і ділення вектора на число не змінює його напрямку, то перетворимо отриманий n2, розділивши його координати на -a, отримаємо:
n2 = (h; 0; a/2).
Ми визначили вектора направляючі n1 і n2 для площин підстави ACB і бічної сторони ADB. Залишається скористатися формулою для кута φ:
φ = arccos (|(n1 × n2)| / (|n1| × |n2|)) = arccos (a / (2 × √h2 + a2/4)).
Перетворимо отримане вираз і перезапишем його так:
φ = arccos (a / √(a2 + 4 × h 2)).
Ми отримали формулу для двогранного кута при основі для правильної чотирикутної піраміди. Знаючи висоту фігури і довжину її боку, можна розрахувати кут φ. Наприклад, для піраміди Хеопса, сторона основи якої становить 230,4 метра, а початкова висота дорівнювала 146,5 метра, кут φ буде дорівнює 51,8 o.
Визначити двогранний кут для правильної чотирикутної піраміди також можна за допомогою геометричного методу. Для цього достатньо розглянути прямокутний трикутник, утворений висотою h, половиною довжини основи a/2 і апофемой рівнобедреного трикутника.
