Динаміка є одним з важливих розділів фізики, який вивчає причини руху тіл у просторі. У цій статті розглянемо з точки зору теорії одну з типових задач динаміки – рух тіла по похилій площині, а також наведемо приклади деяких рішень практичних проблем.
Основна формула динаміки
Перш ніж переходити до вивчення фізики руху тіла по похилій площині, наведемо необхідні теоретичні відомості для вирішення цієї задачі.
У XVII Ісаак Ньютон завдяки практичним спостереженням за рухом макроскопічних оточуючих тіл вивів три закони, які носять його прізвище. На цих законах грунтується вся класична механіка. Нас цікавить в цій статті лише другий закон. Його математичний вигляд наведено нижче:
F = m × a.
Формула говорить про те, що дію зовнішньої сили F додасть прискорення a тілу масою m. Це просте вираження будемо далі використовувати для вирішення завдань руху тіла по похилій площині.
Зазначимо, що сила і прискорення – це величини векторні, спрямовані в одну і ту ж сторону. Крім того, сила – це адитивна характеристика, тобто в наведеній формулі F можна розглядати як результуюче вплив на тіло.
Похила площина і сили, діючі на тіло, що знаходиться на ній
Ключовим моментом, від якого залежить успіх вирішення завдань руху тіла по похилій площині, є визначення діючих на тіло сил. Під визначенням сил розуміють знання їх модулів і напрямів дії.
Нижче дан малюнок, де показано, що тіло (автомобіль) знаходиться в спокої на нахиленої під кутом до горизонту площині. Які сили на нього діють?
Список нижче перераховує ці сили:
- тяжкості;
- реакції опори;
- тертя;
- натягу нитки (якщо є).
Далі опишемо докладніше кожну з них стосовно до розглянутої задачі.
Сила тяжіння
В першу чергу це сила тяжіння (Fg). Вона спрямована вертикально вниз. Оскільки тіло має можливість рухатися тільки вздовж поверхні площини, то при вирішенні завдань силу тяжіння розкладають на дві взаємно перпендикулярні складові. Одна з складових спрямована вздовж площини, інша – перпендикулярна їй. Тільки перша з них призводить до появи у прискорення тіла і, по суті, є єдиним рушійним фактором для розглянутого тіла. Друга складова зумовлює виникнення сили реакції опори.
Реакція опори
Другий діючої на тіло силою є реакція опори (N). Причина її появи пов’язана з третім законом Ньютона. Величина N показує, з якою силою площину впливає на тіло. Вона спрямована вгору перпендикулярно площині похилій. Якщо б тіло знаходилося на горизонтальній поверхні, то N дорівнювала б вазі. У даному ж випадку N дорівнює лише другою складовою, отриманої при розкладанні сили тяжкості (див. абзац вище).
Реакція опори не чинить прямого впливу на характер руху тіла, оскільки вона перпендикулярна площині нахилу. Тим не менш вона зумовлює появу тертя між тілом і поверхнею площини.
Сила тертя
Третьою силою, яку слід враховувати при дослідженні руху тіла по похилій площині, є тертя (Ff). Фізична природа тертя є непростою. Її поява пов’язана з мікроскопічними взаємодіями дотичних тіл, що мають неоднорідні поверхні контакту. Виділяють три види цієї сили:
- спокою;
- ковзання;
- кочення.
Тертя спокою, ковзання описуються однією і тією ж формулою:
Ff = µ × N,
де µ – це безрозмірний коефіцієнт, значення якого визначається матеріалами тертьових тел. Так, при терті ковзання дерева об дерево µ = 0,4, а про льоду лід – 0,03. Коефіцієнт для тертя спокою завжди більше такого для ковзання.
Тертя кочення описується за відмінною від попередньої формули. Вона має вигляд:
Ff = f × N / r.
Тут r – радіус колеса, f – коефіцієнт, що має розмірність зворотного довжини. Ця сила тертя, як правило, набагато менше попередніх. Зауважимо, що на її значення впливає радіус колеса.
Сила Ff, якого б типу вона не була, завжди спрямована проти руху тіла, тобто Ff прагне зупинити тіло.
Натяг нитки
При вирішенні завдань руху тіла по похилій площині ця сила не завжди присутня. Її поява визначається тим, що знаходиться на похилій площині тіло пов’язано з допомогою нерозтяжній нитці з іншим тілом. Часто друге тіло звисає на нитки через блок за межами площини.
На що знаходиться на площині предмет, сила натягу нитки впливає або прискорюючи його, або сповільнюючи. Все залежить від модулів сил, що діють у фізичній системі.
Поява цієї сили в задачі значно ускладнює процес вирішення, оскільки доводиться розглядати одночасно рух двох тіл (на площині і звисає).
Далі наведемо приклад вирішення двох завдань без участі сили натягу нитки.
Завдання на визначення критичного кута
Тепер настав час застосувати описану теорію для вирішення реальних завдань руху по похилій площині тіла.
Припустимо, що брус з дерева має масу 2 кг Він знаходиться на дерев’яній площині. Слід визначити, при якому критичному вугіллі нахилу площини брус почне по ній ковзати.
Ковзання бруса настане тільки тоді, коли сумарна діюча вниз вздовж площини сила на нього виявиться більше нуля. Таким чином, щоб вирішити цю задачу, досить визначити результуючу силу і знайти кут, при якому вона стане більше нуля. Згідно умові задачі на брус будуть вздовж площини надавати дію тільки дві сили:
- складова сили тяжіння Fg1;
- тертя спокою Ff.
Щоб почалося ковзання тіла, має виконуватися умова:
Fg1 ≥ Ff.
Відзначимо, що якщо складова сили тяжіння перевищить тертя спокою, то вона також буде більше сили тертя ковзання, тобто почався рух буде продовжуватися з постійним прискоренням.
Малюнок нижче показує напрямки всіх діючих сил.
Позначимо критичний кут символом θ. Нескладно показати, що сили Fg1 і Ff будуть рівні:
Fg1 = m × g × sin(θ);
Ff = µ × m × g × cos(θ).
Тут m × g – це вага тіла, µ – коефіцієнт сили тертя спокою для пари матеріалів дерево-дерево. З відповідної таблиці коефіцієнтів можна знайти, що він дорівнює 0,7.
Підставляємо знайдені величини в нерівність, отримуємо:
m × g × sin(θ) ≥ µ × m × g × cos(θ).
Перетворюючи це рівність, приходимо до умови руху тіла:
tg(θ) ≥ µ =>
θ ≥ arctg(µ).
Ми отримали дуже цікавий результат. Виявляється, значення критичного кута θ не залежить від маси тіла на похилій площині, а однозначно визначається коефіцієнтом тертя спокою µ. Підставляючи його значення в нерівність, отримаємо величину критичного кута:
θ ≥ arctg(0,7) ≈ 35o.
Завдання на визначення прискорення при русі по похилій площині тіла
Тепер вирішимо дещо іншу задачу. Нехай на скляній похилій площині знаходиться брус з дерева. Площина нахилена до горизонту під кутом 45o. Слід визначити, з яким прискоренням буде рухатися тіло, якщо його маса дорівнює 1 кг.
Запишемо головне рівняння динаміки для цього випадку. Оскільки сила Fg1 буде спрямована вздовж руху, а Ff проти нього, то рівняння прийме вид:
Fg1 – Ff = m × a.
Підставляємо отримані в попередній задачі формули для сил Fg1 і Ff, маємо:
m × g × sin(θ) – µ × m × g × cos(θ) = m × a.
Звідки отримуємо формулу для прискорення:
a = g × (sin(θ) – µ × cos(θ)).
Знову ми отримали формулу, в якій немає маси тіла. Цей факт означає, що бруски будь-якої маси будуть зісковзувати за один і той же час по похилій площині.
Враховуючи, що коефіцієнт µ для тертьових матеріалів дерево-скло дорівнює 0,2, підставимо всі параметри рівність, отримаємо відповідь:
a ≈ 5,55 м/с2.
Таким чином, методика розв’язування задач з похилою площиною полягає у визначенні результуючої сили, що діє на тіло, і в подальшому застосуванні другого закону Ньютона.
