Обсяг фігури
Для абсолютно будь піраміди (у тому числі похилій) значення обсягу простору, обмеженого нею, можна визначити, знаючи висоту фігури і площа її підстави. Відповідна формула має вигляд:
V = 1/3*So*h
Застосовуючи цей вираз для даної фігури, отримаємо наступну формулу:
V3 = √3/12*a2*h
Де висота правильної трикутної піраміди дорівнює h, а її сторона основи – a.
Не складно отримати формулу для об’єму тетраедра, у якого всі сторони рівні між собою і представляють рівносторонні трикутники. У такому разі обсяг фігури визначиться за формулою:
V = √2/12*a3
Тобто він визначається довжиною сторони a однозначно.
Площа поверхні
Продовжимо розглядати властивості піраміди правильної трикутної. Загальна площа всіх граней фігури називається площею її поверхні. Останню зручно вивчати, розглядаючи відповідну розгортку. На малюнку нижче показано, як виглядає розгортка правильної трикутної піраміди.
Припустимо, що нам відомі висота h і сторона підстави a фігури. Тоді площа її підстави дорівнює:
So = √3/4*a2
Отримати це вираз може кожен школяр, якщо згадає, як знаходити площу трикутника, а також врахує, що висота рівностороннього трикутника також є бісектрисою і медіаною.
Площа бічної поверхні, утвореної трьома однаковими равнобедренными трикутниками, становить:
Sb = 3/2*√(a2/12+h2)*a
Ця рівність випливає з виразу апотемы піраміди через висоту і довжину підстави.
Повна площа поверхні фігури дорівнює:
S = So + Sb = √3/4*a2 + 3/2*√(a2/12+h2)*a
Зауважимо, що для тетраедра, у якого всі чотири сторони є однаковими рівносторонніми трикутниками, площа S буде дорівнювати:
S = √3*a2
