Завдання на визначення об’єму тетраедра
Покажемо, як використовувати наведені вище формули при розв’язуванні конкретних задач геометрії.
Відомо, що тетраедр має довжину ребра 7 див. Знайдіть об’єм правильної трикутної піраміди-тетраедра.
Нагадаємо, що тетраедр є правильної трикутною пірамідою, в якій всі підстави рівні між собою. Щоб скористатися формулою обсягу правильної трикутної піраміди, необхідно обчислити дві величини:
- довжину сторони трикутника;
- висоту фігури.
Перша величина відома з умови задачі:
a = 7 див.
Щоб визначити висоту, розглянемо фігуру, зображену на малюнку.
Зазначений трикутник ABC є прямокутним, де кут ABC дорівнює 90o. Сторона AC – це гіпотенуза, довжина якої дорівнює a. Шляхом нескладних геометричних міркувань можна показати, що сторона BC має довжину:
BC = a/√3.
Зауважимо, що довжина BC є радіусом описаного навколо трикутника кола.
Висоту піраміди h можна розрахувати, застосовуючи теорему Піфагора. Маємо:
h = AB = √(AC2 – BC2) = √(a2 – a2/3) = a*√(2/3).
Тепер можна h і a підставити у відповідну формулу для об’єму:
V = √3/12*a2*a*√(2/3) = √2/12*a3.
Таким чином, ми отримали формулу об’єму тетраедра. Видно, що обсяг залежить тільки від довжини ребра. Якщо у рівняння підставити значення з умови задачі, тоді отримуємо відповідь:
V = √2/12*73 ≈ 40,42 см3.
Якщо порівняти цю величину з об’ємом куба, мають таке ж ребро, то отримаємо, що об’єм тетраедра в 8,5 разів менше. Це свідчить про те, що тетраедр є компактною фігурою, яка реалізується у деяких природних речовинах. Наприклад, молекула метану має тетраэдрическую форму, а кожний атом вуглецю в алмазі з’єднаний з чотирма іншими атомами, що утворюють тетраедр.
