Коли розглядають рух тіл у вільному просторі, будь то переміщення планет в космосі чи об’єктів в земній атмосфері, то визначальними траєкторію силами є гравітаційні. У даній статті розглядається один із видів такого переміщення – рух під кутом до горизонту. Формули, необхідні для розв’язання відповідних завдань, також наводяться.
Про якому типі руху піде мова?
Рух під кутом до горизонту (формули наведені далі в статті) – це переміщення об’єктів у гравітаційному полі нашої планети, в процесі якого діє лише одна-єдина сила – сила тяжіння. Насправді ж присутня ще опір повітря, але їм прийнято нехтувати.
У процесі руху під кутом до горизонту тіло починає рух або з поверхні землі або з деякої висоти h. У початковий момент часу воно має швидкість v, спрямованої під деяким кутом до горизонту. Пролетівши по деякій траєкторії, тіло падає на землю.
Зазначену траєкторію прийнято вважати параболічної, проте це не зовсім вірно. Справа в тому, що в результаті дії сили тяжіння об’єкт рухається по еліптичній траєкторії (через падіння на землю тіло описує лише частину еліпса). У ряді випадків частину реальної еліптичної траєкторії можна представити у вигляді параболи з високою точністю, що і робиться з метою спростити математичні викладки при розрахунках.
Особливості руху під кутом до горизонту
Оскільки в процесі такого переміщення об’єктів діє лише одна сила тяжіння, яка протягом всього шляху є постійною величиною (завжди спрямована вниз і має постійне абсолютне значення), то цей тип руху володіє наступними властивостями:
- Знаючи початкову швидкість, кут до горизонту і значення висоти, з якої стартує тіло, можна однозначно розрахувати його траєкторію польоту.
- Збільшення початкової швидкості при незмінному куті до горизонту приводить до збільшення дальності польоту.
- Якщо тіло починає політ з нульової висоти, тоді кут його падіння буде точно дорівнює куту вильоту.
- Горизонтальне та вертикальне переміщення тіла в процесі руху є незалежними, тому їх можна аналізувати окремо один від одного.
Приклади розглянутого типу руху
Політ м’яча при ударі його футболістом або рух снаряда в повітрі після того, як їм вистрілили з якого-небудь знаряддя (гармата, міномет, танк) – це найбільш яскраві приклади руху під кутом до горизонту. Також таким є політ каменя, кинутого рукою з будь-якої висоти, або стрибки того ж каменю, коли він відштовхується від води.
На відміну від наведених прикладів, зліт, політ і посадка літака не відносяться до розглянутого руху, оскільки у цьому випадку діють додаткові сили, крім сили тяжіння (тяга, підйомна сила крила).
Фізика руху під кутом до горизонту: формули
Як було сказано вище, коли тіло починає свій політ, то можна скласти два незалежних рівняння його руху вздовж горизонту і перпендикулярно йому. Спочатку запишемо, які сили діють на тіло в напрямку x і y:
Fx = 0;
Fy = -m*g.
Тут m – маса тіла, g – прискорення, яке всім тілам повідомляє наша планета поблизу її поверхні. Знак мінус вказує, що сила тяжіння Fy діє проти напрямку осі y.
Тепер запишемо компоненти початкової швидкості на кожну вісь:
vx = v*cos(θ);
vy = v*sin(θ).
Тут θ – кут до горизонту. Оскільки діюча сила приводить до зміни швидкості згідно з другим законом Ньютона, то можна записати:
vx = const.
vy = v*sin(θ) – g*t.
Тут t – момент часу після початку польоту.
Інтегруючи часу обидва вирази, отримуємо кінцеві формули руху під кутом до горизонту:
x = vx*t+x0 = v*cos(θ)*t + x0;
y = vy*t+y0 = v*sin(θ)*t – g*t2/2 + y0.
В отриманих виразах з’явилися дві константи: x0 і y0. Вони описують початкові координати об’єкта. Коли математично вирішують завдання руху по параболічної траєкторії, то x0 вважають рівною нулю (початок відліку). Що стосується y0, то тут ситуація трохи складніше: якщо тіло стартує з поверхні землі, то y0 теж дорівнює нулю; якщо тіло починає рух з висоти h, y0 одно цій висоті. Таким чином, формули руху під кутом до горизонту з висоти приймуть вигляд:
x = v*cos(θ)*t.
y = v*sin(θ)*t – g*t2/2 + h .
Приклад розв’язання задачі
Вирішимо цікаву задачу на рух тіла під кутом до горизонту. Умова її наступне: лучник, перебуваючи на вежі висотою 15 метрів, запускає стрілу зі швидкістю 20 м/с під кутом 0o до поверхні землі. Слід визначити, на яку відстань від вежі летить стріла.
Шукане відстань буде дорівнює зміні координати x, тобто:
x = v*cos(θ)*t = v*t.
Косинус нульового кута дорівнює одиниці, тому він був опущений. Отже, щоб отримати відповідь, необхідно знайти час польоту стріли t. Для цього звернемося до другого рівняння (вздовж осі y). Згідно з умовою задачі, воно має вигляд:
y = v*sin(θ)*t – g*t2/2+ h = h – g*t2/2, оскільки sin(0) = 0.
Коли стріла впаде на землю, її координата y стане рівною 0, тому отримуємо рівняння:
h – g*t2/2 = 0.
Ця рівність називається чистим рівнянням другого порядку. Воно вирішується з допомогою перенесення вільного члена в іншу частину рівності, використовуючи при цьому квадратний корінь, тобто:
t = √(2*h/g).
Залишається цю формулу підставити в рівняння для x і отримати бажаний відповідь:
x = v*√(2*h/g) = 20*√(2*15/9,81) = 34,97 ≈ 35 метрів.
Таким чином, стріла відлетить всього на 35 метрів. Дальність її польоту лучник може збільшити, якщо направить стрілу під кутом θ до горизонту, не рівним нулю.
