В математиці різні типи чисел вивчаються з самого свого зародження. Існує велика кількість множин і підмножин чисел. Серед них виділяють цілі числа, раціональні, ірраціональні, натуральні, парні, непарні, комплексні і дробові. Сьогодні розберемо інформацію про останньому множині – дробових числах.
Визначення дробів
Дроби – це числа, що складаються з цілої частини і часток одиниці. Також, як й цілих чисел, існує нескінченна безліч дрібних, між двома цілими. В математиці дії з дробами виконуються, так як з цілими і натуральними числами. Це досить просто і навчитися цьому можна за пару занять.
У статті представлено два види дробів: звичайні і десяткові.
Звичайні дроби
Звичайні дроби являють собою цілу частину a і два числа, що записані через дробову риску b/c. Звичайні дроби можуть бути вкрай корисні, якщо дріб можна представити у раціональному десятковому вигляді. Крім того, арифметичні операції зручніше проводити через дробову риску. Верхня частина називається чисельник, нижня – знаменник.
Дії з звичайними дробами: приклади
Основна властивість дробу. При збільшенні чисельника і знаменника на одне і те ж число, яке не є нулем, в результаті виходить число, що дорівнює даному. Це властивість дробу відмінно допомагає привести знаменник для складання (про це буде розказано нижче) або скоротити дріб, зробити її зручнішою для рахунку. a/b = a*c/b*c. Приміром, 36/24 = 6/4 або 9/13 = 18/26
Приведення до спільного знаменника. Щоб привести знаменник дробу необхідно представити знаменник у вигляді множників, а потім помножити на відсутні числа. Наприклад, 7/15 і 12/30; 7/5*3 і 12/5*3*2. Бачимо, що знаменники відрізняються двійкою, тому множимо чисельник і знаменник першого дробу на 2. Отримуємо: 14/30 і 12/30.
Складові дробу – звичайні дроби з виділеної цілою частиною. (A b/c) Щоб представити складову дріб у вигляді звичайного, необхідно помножити число, що стоїть перед дробом на знаменник, а потім скласти з чисельником: (A*c + b)/c.
Арифметичні дії з дробами
Не зайвим буде розглянути відомі арифметичні дії тільки при роботі з дробовими числами.
Додавання і віднімання. Складати і віднімати звичайні дроби точно так само легко, як і цілі числа, за винятком однієї труднощі – наявності дробової риски. Складаючи дроби з однаковими знаменником, необхідно скласти лише чисельники обох дробів, знаменники залишаються без зміни. Наприклад: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7
Якщо ж знаменники двох дробів являють собою різні числа спочатку потрібно привести їх до спільного (як це зробити було розглянуто вище). 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. Віднімання відбувається точно таким же принципом: 8/9 – 2/3 = 8/9 – 6/9 = 2/9.
Множення і ділення. Дії з дробами по множенню відбуваються за наступним принципом: окремо перемножуються чисельники і знаменники. У загальному вигляді формула множення виглядає так: a/b *c/d = a*c/b*d. Крім того, у міру множення можна скоротити дріб, виключаючи однакові множники з чисельника і знаменника. Кажучи іншою мовою, чисельник і знаменник ділиться на одне і те ж число: 4/16 = 4/4*4 = 1/4.
Для поділу одного звичайного дробу на іншу, потрібно поміняти чисельник і знаменник дільника і виконати множення двох дробів, за принципом, розглянутому раніше: 5/11 : 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/11*25 = 1/5
Десяткові дроби
Десяткові дроби є більш популярною і часто використовуваною версією дробових чисел. Їх простіше записати в рядок або представити на комп’ютері. Структура десяткового дробу така: спочатку записується ціле число, а потім, після коми, записується дробова частина. По своїй суті десяткові дроби – це складові звичайні дроби, однак їх дробова частина представлена числом, деленным на кратне числу 10. Звідси і походить їх назва. Дії з десятковими дробами аналогічні діям з цілими числами, так як вони так само записано в десятковій системі числення. Також на відміну від звичайних дробів, десяткові можуть бути ірраціональними. Це означає, що вони можуть бути нескінченними. Записуються вони так 7,(3). Читається така запис: сім цілих три десятих в періоді.
Основні дії з десятковими числами
Додавання і віднімання десяткових дробів. Виконати дії з дробами не складніше, ніж з цілими натуральними числами. Правила абсолютно аналогічні з тими, що використовують під час складання або віднімання натуральних чисел. Їх так само можна вважати стовпчиком, однак при необхідності заміняти відсутніх місця нулями. Наприклад: 5,5697 – 1,12. Для того щоб виконати віднімання стовпчиком потрібно зрівняти кількість цифр після десяткової коми: (5,5697 – 1,1200). Так, числове значення що не змінитися і можна буде вважати в стовпчик.
Дії з десятковими дробами не можна робити, якщо одне з них має ірраціональний вигляд. Для цього потрібно перевести обидва числа в звичайні дроби, а потім користуватися прийомами, описаними раніше.
Множення і ділення. Множення десяткових дробів аналогічно множення натуральних. Їх також можна множити стовпчиком, просто, не звертаючи уваги на кому, а потім відокремити комою в підсумковому значенні таку ж кількість знаків, скільки у сумі після коми було в двох десяткових дробах. Приміром, 1,5 * 2,23 = 3,345. Все дуже просто, і не повинно викликати труднощів, якщо ви вже оволоділи множення натуральних чисел.
Поділ також співпадає з діленням натуральних чисел, але з невеликим відступом. Щоб розділити на десяткове число стовпчиком необхідно відкинути коми в дільнику, і ділене помножити на число знаків, що стояли після коми в дільнику. Після чого виконувати поділ як з натуральними числами. При неповному діленні можна додавати нулі до подільного праворуч, також додаючи нуль у відповідь після коми.
Приклади дій з десятковими дробами. Десяткові дроби – дуже зручний інструмент для арифметичного рахунку. Вони поєднують в собі зручність натуральних, цілих чисел і точність звичайних дробів. До того ж досить просто перевести одні дробу в інші. Дії з дробами не відрізняються від дій з натуральними числами.
- Додавання: 1,5 + 2,7 = 4,2
- Віднімання: 3,1 – 1,6 = 1,5
- Множення: 1,7 * 2,3 = 3,91
- Розподіл: 3,6 : 0,6 = 6
Крім того, десяткові дроби підходять для подання відсотків. Так, 100 % = 1; 60 % = 0,6; і навпаки: 0,659 = 65,9 %.
Ось і все, що потрібно знати про дробах. У статті було розглянуто два види дробів – звичайні і десяткові. Обидва досить прості для обчислення, і якщо ви повністю оволоділи натуральними числами та діями з ними, можете сміливо приступати до вивчення дробів.
