Вміння визначати обсяг просторових фігур є важливим для розв’язування геометричних і практичних задач. Однією з таких постатей є призма. Розглянемо у статті, що вона собою представляє, і покажемо, як обчислювати обсяг похилій призми.
Що розуміють під призмою в геометрії?
Мова йде про правильне полиэдре (багатограннику), який утворений двома однаковими підставами, що знаходяться в паралельних площинах, і кількома параллелограммами, що з’єднують зазначені підстави.
Підставами призми можуть бути довільні багатокутники, наприклад, трикутник, чотирикутник, семиугольник і так далі. Причому число кутів (сторін) багатокутника визначає назву фігури.
Будь-яка призма, що має в основі n-кутник (n – кількість сторін), складається з n+2 граней, 2 × n вершин і 3 × n ребер. З наведених чисел видно, що кількість елементів призми відповідають теоремою Ейлера:
3 × n = 2 × n + n + 2 – 2
Нижче малюнок показує, як виглядають трикутні та чотирикутні призми, зроблені зі скла.
Види фігури. Похила призма
Вище вже було сказано, що назву призми визначається числом сторін багатокутника в підставі. Однак існують і інші особливості в її будові, що визначають властивості фігури. Так, якщо всі паралелограми, утворюють бічну поверхню призми, представлені прямокутниками або квадратами, то така фігура називається прямою. Для прямої призми відстань між підставами дорівнює довжині бічного ребра будь-якого прямокутника.
Якщо ж деякі або всі бічні сторони є параллелограммами, то мова йде про похилій призми. Висота її вже буде менше, ніж довжина бічного ребра.
Ще один критерій, за яким проводять класифікацію аналізованих фігур — це довжини сторін і кути многокутника в підставі. Якщо вони рівні один одному, то многокутник буде правильним. Пряма фігура з правильним гратки в підставах називається правильною. З нею зручно працювати при визначенні площі поверхні та об’єму. Похила призма в цьому плані представляє деякі труднощі.
На рисунку показані дві призми, мають чотирикутний основу. Кут 90° показує принципову різницю між прямою і похилою призмою.
Формула для визначення об’єму фігури
Частина простору, обмежена гранями призми, називається її обсягом. Для розглянутих фігур будь-якого типу цю величину можна визначити за такою формулою:
V = h × So
Тут символом h позначена висота призми, яка є мірою відстані між двома підставами. Символ So – однієї підстави площа.
Площа підстави знайти нескладно. Враховуючи той факт, є правильним багатокутник чи ні, а також знаючи кількість його сторін, слід застосувати відповідну формулу і отримати So. Наприклад, для правильного n-кутника з довжиною сторони a площа буде дорівнює:
Sn = n / 4 × a2 × ctg (pi / n)
Тепер перейдемо до висоти h. Для прямої призми визначення висоти не представляє ніяких труднощів, однак для похилої призми – це непросте завдання. Вирішувати її можна різними геометричними методами, відштовхуючись від конкретних початкових умов. Тим не менше існує універсальний спосіб визначення висоти фігури. Опишемо його коротко.
Ідея полягає в знаходження відстані від точки до площини у просторі. Припустимо, що площина задана рівнянням:
A × x+ B × y + C × z + D = 0
Тоді від точки з координатами (x1; y1; z1) площина буде знаходитися на відстані:
h = |A × x1 + B × y1 + C × z1 + D| / √ (A2 + B2 + C2)
Якщо координатні осі розташувати так, що точка (0; 0; 0) буде лежати в площині нижньої основи призми, тоді рівняння площини підстави можна записати так:
z = 0
Це означає, що формула для висоти запишеться так:
h = z1
Досить знайти координату z точки верхнього підстави, щоб визначити висоту фігури.
Приклад розв’язання задачі
На малюнку нижче дана чотирикутна призма. Підставою похилій призми є квадрат зі стороною 10 див. Необхідно обчислити її обсяг, якщо відомо, що довжина бічного ребра дорівнює 15 см, а гострий кут фронтального паралелограма дорівнює 70°.
Оскільки висота h фігури також є висотою паралелограма, то використовуємо формули для визначення його площі, щоб знайти h. Позначимо сторони паралелограма так:
a = 10 см;
b = 15 см
Тоді можна записати для нього такі формули для визначення площі Sp:
Sp = a × b × sin (α);
Sp = a × h
Звідки отримуємо:
h = b × sin (α)
Тут α – гострий кут паралелограма. Оскільки підставою є квадрат, то формула обсягу похилій призми прийме вигляд:
V = a2 × b × sin (α)
Підставляємо з умови дані у формулу і отримуємо відповідь: V ≈ 1410 см3.
