Дві прямі, що задають площину
З курсу просторової геометрії кожен школяр знає, що дві довільні прямі однозначно задають площину в тривимірному просторі. Розв’яжемо таку задачу.
Відомі два рівняння прямих:
(x; y; z) = (1; 0; 0) + α*(2; -1; 0);
(x; y; z) = (1; -1; 0) + β*(-1; 0; 1).
Потрібно записати у відрізках рівняння площини, через ці прямі проходить.
Так як обидві прямі повинні лежати в площині, то це означає, що їх вектора (напрямні) повинні бути перпендикулярні вектору (спрямовує) для площини. У той же час відомо, що векторний добуток довільних двох спрямованих відрізків дає результат у вигляді координат третього, перпендикулярного двом вихідним. Враховуючи цю властивість, отримуємо координати нормального до шуканої площини вектора:
[(2; -1; 0)*(-1; 0; 1)] = (-1; -2; -1).
Оскільки його можна помножити на довільне число, при цьому утворюється новий спрямований відрізок, паралельний, то можна знак отриманих координат замінити на протилежний (помножити на -1), отримаємо:
(1; 2; 1).
Нам відомий напрямний вектор. Залишається взяти довільну точку однієї з прямих і скласти загальне рівняння площини:
A = 1;
B = 2;
C = 1;
D = -1*(1*1 + 2*0 + 3*0) = -1;
x + 2*y + z -1 = 0.
Переводимо це рівність у вираз у відрізках, отримуємо:
x + 2*y + z = 1 =>
x/1 + y/(1/2) + z/1 = 1.
Таким чином, площина перетинає всі три осі в позитивній області координатної системи.
