Елементи
Для будь-якої призми головними її елементами є ребра, грані, вершини. Шестикутна призма не є винятком. Наведений вище малюнок дозволяє порахувати кількість цих елементів. Так, граней або сторін ми отримуємо 8 (дві підстави і шість бічних паралелограмів), число вершин становить 12 (по 6 вершин для кожної підстави), кількість ребер шестикутної призми дорівнює 18 (шість бічних і 12 для підстав).
У 1750-ті роки Леонард Ейлер (швейцарський математик) встановив для всіх поліедрів, до яких ставиться призма, математичний зв’язок між числами зазначених елементів. Цей зв’язок має вигляд:
число ребер = число граней + число вершин – 2.
Зазначені вище цифри задовольняють цій формулі.
Діагоналі призми
Всі діагоналі шестикутної призми можна розділити на два типу:
- ті, які лежать в площинах її граней;
- ті, які належать всьому об’єму фігури.
Малюнок нижче показує всі ці діагоналі.
Видно, що D1 – це діагональ бічної сторони, D2 і D3 – діагоналі всій призми, D4 і D5 – діагоналі основи.
Довжини діагоналей бічних сторін між собою рівні. Обчислити її легко, використовуючи всім відому теорему Піфагора. Позначимо символом a довжину сторони шестикутника, символом b – довжину бічного ребра. Тоді діагональ має довжину:
D1 = √(a2 + b2).
Діагональ D4 також легко визначається. Якщо згадати, що правильний шестикутник вписується в коло радіусом a, то D4 діаметр цього кола, тобто отримаємо наступну формулу:
D4 = 2*a.
Діагональ D5 підстави знайти дещо складніше. Для цього слід розглянути рівносторонній трикутник ABC (див. рис.). Для нього AB = BC = a, кут ABC дорівнює 120 o. Якщо з цього кута опустити висоту (вона ж буде бісектрисою і медіаною), тоді половина підстави AC буде дорівнює:
AC/2 = AB*sin(60 o) = a*√3/2.
Сторона AC є діагоналлю D5, тому отримуємо:
D5 = AC = √3*a.
Тепер залишається знайти діагоналі D2 і D3 правильної шестикутної призми. Для цього потрібно побачити, що вони є гипотенузами відповідних прямокутних трикутників. Скориставшись теоремою Піфагора, отримуємо:
D2 = √(D42 + b2) = √(4*a2 + b2);
D3 = √(D52+ b2) = √(3*a2+ b2).
Таким чином, самою великою діагоналлю для будь-яких значень a і b є D2.
