Завдання на знаходження першого члена прогресії
Покажемо, як слід застосовувати наведені вище формули на прикладі розв’язання задачі. Відомо, що сума нескінченної геометричної прогресії дорівнює 11. При цьому 7-й її член в 6 разів менше третього члена. Чому дорівнює перший елемент для цього числового ряду?
Для початку випишемо два вирази для визначення 7-го і 3-го елементів. Отримуємо:
a7 = a1*r6
a3 = a1*r2
Розділивши перше вираз на друге, і висловлюючи знаменник, маємо:
a7/a3 = r4 => r = 4√(a7/a3)
Оскільки відношення сьомого і третього членів дано в умові задачі, можна його підставити і знайти r:
r = 4√(a7/a3) = 4√(1/6) ≈ 0,63894
Ми розрахували r з точністю до п’яти значущих цифр після коми. Оскільки отримане значення менше одиниці, значить, прогресія є спадною, що виправдовує використання формули для її нескінченної суми. Запишемо вираз для першого члена через суму S∞:
a1 = S∞*(1-r)
Підставляємо в формулу відомі значення і отримуємо відповідь:
a1 = 11*(1-0,63894) = 3,97166.
