Сума i членів прогресії
Для рішення практичних задач часто доводиться обчислювати суму декількох елементів розглянутої числової послідовності. Для цього випадку справедлива наступна формула:
Si = a1*(ri-1)/(r-1)
Видно, що для обчислення суми i членів необхідно знати всього два числа: a1 і r, що є логічним, оскільки вони однозначно визначають всю послідовність.
Щербатий послідовність і сума її членів
Тепер розглянемо окремий випадок. Вважатимемо, що модуль знаменника r не перевищує одиниці, тобто -1
Убуваючу геометричну прогресію цікаво розглянути, тому що нескінченна сума її членів прагне до кінцевого дійсному числу.
Отримаємо формулу суми нескінченної спадної геометричної прогресії. Це легко зробити, якщо виписати вираз для Si, наведеного в попередньому пункті. Маємо:
Si = a1*(ri-1)/(r-1)
Розглянемо випадок, коли i->∞. Оскільки модуль знаменника менше 1, то зведення його в нескінченну ступінь дасть нуль. Це можна перевірити на прикладі r=0,5:
0,52 = 0,25; 0,53 = 0,125; …., 0,520 = 0,0000009.
У результаті сума членів нескінченної геометричної прогресії спадної прийме форму:
S∞ = a1/(1-r)
Ця формула часто використовується на практиці, наприклад, для обчислення площ фігур. Її також застосовують при вирішенні парадокси Зенона Элейского з черепахою і Ахіллесом.
Очевидно, що розгляд суми нескінченної геометричної прогресії зростаючою (r>1), призведе до результату S∞ = +∞.
