Знаменитий парадокс Зенона з швидким Ахіллесом і повільної черепахою
Зенон Элейский – відомий грецький філософ, який жив у V столітті до н. е. До нашого часу дійшли деякі його апогей або парадоксів, у яких формулюється проблема нескінченно великого і нескінченно малого математики.
Одним із відомих парадоксів Зенона є змагання Ахіллеса і черепаху. Зенон вважав, що якщо Ахіллес надасть деяку перевагу черепасі у відстані, то він ніколи не зможе її наздогнати. Наприклад, нехай Ахіллес біжить в 10 разів швидше, ніж повзе тварина, яка для прикладу знаходиться на відстані 100 метрів попереду нього. Коли воїн пробіжить 100 метрів, то черепаха відповзе на 10. Пробігши знову 10 метрів, Ахіллес побачить, що черепаха відповзла ще на 1 метр. Міркувати так можна до нескінченності, відстань буде між спортсменами дійсно зменшуватися, але черепаха буде завжди знаходитися попереду.
Цей парадокс привів Зенона до висновку, що руху не існує, і всі навколишні переміщення об’єктів – це ілюзія. Звичайно ж, давньогрецький філософ помилявся.
Рішення парадоксу криється в тому, що нескінченна сума постійно зменшуються відрізків, прагне до кінцевого числа. У наведеному вище випадку для відстані, яке пробіг Ахіллес, отримаємо:
100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + …
Застосовуючи формулу суми нескінченної геометричної прогресії, одержимо:
S∞ = 100 /(1-0,1) ≈ 111,111 метрів
Цей результат показує, що дожене Ахіллес черепаху, коли вона проповзе всього 11,111 метрів.
Стародавні греки не вміли працювати з нескінченними величинами в математиці. Проте цей парадокс можна вирішити, якщо звернути увагу не на нескінченне число проміжків, які повинен подолати Ахіллес, а на кінцеве число кроків бігуна, необхідних для досягнення мети.
