Кожен з нас кидав каміння в небо і спостерігав за траєкторією їх падіння. Це найпоширеніший приклад руху твердого тіла в полі гравітаційних сил нашої планети. У цій статті розглянемо формули, які можуть знадобитися для вирішення завдань на вільний рух тіла, кинутого до горизонту під кутом.
Поняття про рух до горизонту під кутом
Коли деякого твердому об’єкту повідомляють початкову швидкість, і він починає набирати висоту, а потім, знову падати на землю, то прийнято вважати, що тіло рухається по параболічної траєкторії. Насправді рішення рівнянь для цього типу руху показує, що описувана тілом лінія в повітрі – це частина еліпса. Однак для практичного використання параболічна апроксимація виявляється досить зручною і призводить до точних результатів.
Прикладами руху тіла, кинутого під кутом до горизонту, є постріл снаряду з дула гармати, удар ногою по м’ячу, і навіть стрибки гальки на поверхні води (“жабки”), за якими проводяться міжнародні змагання.
Тип руху під кутом вивчає балістика.
Властивості розглянутого типу руху
Коли розглядають траєкторію руху тіла в полі гравітаційних сил Землі, то виявляються справедливими наступні твердження:
- знання початкової висоти, швидкості і кута до горизонту дозволяє розрахувати всю траєкторію;
- кут вильоту дорівнює куту падіння тіла за умови, що початкова висота дорівнює нулю;
- рух по вертикалі можна розглядати незалежно від руху по горизонталі;
Відзначимо, що зазначені властивості справедливі, якщо сила тертя в процесі польоту тіла пренебрежимо мала. В балістиці при вивченні польотів снарядів враховують багато різних факторів, в тому числі і тертя.
Типи параболічного руху
В залежності від того, з якої висоти починається рух, на якій висоті закінчується, і спрямована початкова швидкість, виділяють наступні типи параболічного руху:
- Повна парабола. У цьому випадку тіло кидають з поверхні землі, і на цю поверхню воно падає, описавши при цьому повну параболу.
- Половина параболи. Такий графік руху тіла спостерігається, якщо його кинути з деякої висоти h, направивши швидкість v паралельно горизонту, тобто під кутом θ = 0o.
- Частина параболи. Такі траєкторії виникають, коли тіло кинуто під деяким кутом θ≠0 o, і різниця початкової і кінцевої висоти теж не дорівнює нулю (h-h0≠0). Більшість траєкторій руху об’єктів відносяться саме до цього типу. Наприклад, постріл з гармати, що стоїть на пагорбі, або кидок баскетболістом м’яча в кошик.
Графік руху тіла, що відповідає повній параболі, наведений вище.
Необхідні для розрахунку формули
Наведемо формули для опису руху тіла, кинутого під кутом до горизонту. Нехтуючи силою тертя, і враховуючи тільки силу тяжіння, можна записати два рівняння для швидкості переміщення об’єкта:
vx = v0*cos(θ)
vy = v0*sin(θ) – g*t
Так як сила тяжіння спрямована вертикально вниз, то горизонтальну складову швидкості vx вона не змінює, тому в першому рівність відсутня залежність від часу. Компонента vy в свою чергу має вплив сили тяжіння, яка повідомляє g прискорення тіла, спрямований до землі (звідси знак мінус у формулі).
Тепер запишемо формули для зміни координат тіла, кинутого під кутом до горизонту:
x = x0+v0*cos(θ)*t
y = y0 + v0*sin(θ)*t – g*t2/2
Початкова координата x0 часто приймається рівною нулю. Координата y0 – це не що інше, як висота h, з якою кидають тіло (y0 = h).
Тепер висловимо час t з першого висловлювання і підставимо його в друге, отримаємо:
y = h + tg(θ)*x – g /(2*v02*cos2(θ))*x2
Це вираз в геометрії відповідає параболі, гілки якої спрямовані вниз.
Наведених рівнянь достатньо, щоб визначити будь-які характеристики цього типу руху. Так, їх рішення призводить до того, що максимальна дальність польоту досягається, якщо θ = 45o, максимальна ж висота, на яку підніметься кинуте тіло, досягається при θ = 90o.
