Формули для визначення елементів прогресії
Загалом, інформації вище вже достатньо, щоб переходити до вирішення конкретних завдань. Тим не менш до того, як буде дана арифметична прогресія, і знайти різниця її буде необхідно, наведемо кілька корисних формул, полегшивши тим самим подальший процес вирішення завдань.
Нескладно показати, що будь-який елемент послідовності з номером n може бути знайдений наступним чином:
an = a1 + (n – 1) * d
Дійсно, перевірити цю формулу може кожен простим перебором: якщо підставити n = 1, то вийде перший елемент, якщо підставити n = 2, тоді вираз видає суму першого числа і різниці, і так далі.
Умови багатьох завдань складаються таким чином, що за відомою парі чисел, номери яких в послідовності також дані, необхідно відновити весь числовий ряд (знайти різницю і перший елемент). Зараз ми вирішимо цю задачу в загальному вигляді.
Отже, нехай дано два елементи з номерами n і m. Користуючись отриманою вище формулою, можна скласти систему з двох рівнянь:
an = a1 + (n – 1) * d;
am = a1 + (m – 1) * d
Для знаходження невідомих величин скористаємося відомим простим прийомом вирішення такої системи: віднімемо попарно ліву і праву частини, рівність при цьому залишиться справедливим. Маємо:
an = a1 + (n – 1) * d;
an – am = (n – 1) * d – (m – 1) * d = d * (n – m)
Таким чином, ми виключили одну невідому (a1). Тепер можна записати остаточний вираз для визначення d:
d = (an – am) / (n – m), де n > m
Ми отримали дуже просту формулу: щоб обчислити різницю d згідно з умовами задачі, необхідно лише взяти відношення різниць самих елементів і їх порядкових номерів. Слід звернути увагу на один важливий момент увагу: різниці беруться між “старших” і “молодших” членами, тобто n > m (“старший” – мається на увазі стоїть далі від початку послідовності, його абсолютне значення може бути як більше, так і менше “молодшого” елемента).
Вираз для різниці d прогресії слід підставити в будь-яке з рівнянь на початку рішення завдання, щоб отримати значення першого члена.
Далі в статті наведемо приклади вирішення задач на обчислення d і на відновлення числового ряду алгебраїчної прогресії. Тут же хотілося б відзначити один важливий момент.
У наше століття розвитку комп’ютерних технологій багато школярі намагаються знайти рішення своїх завдань в Інтернеті, тому часто виникають питання такого типу: знайти різницю арифметичної прогресії онлайн. За подібним запитом пошуковик видасть ряд web-сторінок, перейшовши на які потрібно буде ввести відомі з умови дані (це можуть бути як два члена прогресії, так і сума деякого їх числа) і моментально отримати відповідь. Проте такий підхід до вирішення завдання є непродуктивним в плані розвитку школяра і розуміння суті поставленого перед ним завдання.
Рекомендується за вказаними причин самостійно вирішувати подібні завдання. Крім того, вони не є складними.
