Закон збереження імпульсу і моменту імпульсу: приклад розвязання задачі

Коли доводиться вирішувати завдання з фізики на рух об’єктів, то часто виявляється корисним застосування закону збереження імпульсу. Що таке імпульс для лінійного і кругового переміщення тіла, а також у чому полягає суть закону збереження цієї величини, що розглядається у статті.

Поняття про лінійне імпульсі

Історичні дані свідчать, що вперше цю величину розглянув у своїх наукових працях Галілео Галілей на початку XVII століття. Згодом Ісаак Ньютон зміг гармонійно вбудувати поняття про кількість руху (більш правильна назва імпульсу) в класичну теорію переміщення об’єктів у просторі.

Позначимо кількість руху як p, тоді формула для його обчислення запишеться у вигляді:

p = m * v.

Тут m — маса, v — швидкість (векторна величина) руху. Ця рівність показує, що кількість руху — це швидкісна характеристика об’єкта, де маса відіграє роль коефіцієнта множення. Кількість руху є векторною величиною, спрямованої в тому ж напрямку, що і швидкість.

Інтуїтивно зрозуміло, що чим більше швидкість руху і маса тіла, тим важче його зупинити, тобто тим більшою кінетичною енергією воно володіє.

Загрузка...

Кількість руху і його зміна

Можна здогадатися, що для зміни величини p тіла необхідно прикласти певну силу. Нехай сила F діє протягом проміжку часу Δt, тоді закон Ньютона дозволяє записати рівність:

F * T = m * a * T; отже, F * T = m * Δv = Δp.

Величина, що дорівнює добутку проміжку часу Δt на силу F, називається імпульсом сили. Оскільки вона виявляється рівною зміни кількості руху, то останнє часто називають просто імпульсом, припускаючи тим самим, що деяка зовнішня сила F його створила.

Таким чином, причиною зміни кількості руху є імпульс зовнішньої сили. Величина Δp може призводити як до збільшення значення p, якщо кут між F і p є гострим, так і до зменшення модуля p, якщо цей кут тупий. Найбільш простими випадками є розгін тіла (кут між F і p дорівнює нулю) і його гальмування (кут між векторами F і p становить 180 o).

Дивіться також:  Правила звільнення потерпілого від дії електричного струму до 1000 В

Коли зберігається кількість руху: закон

Якщо на систему тіл не діють зовнішні сили, і всі процеси в ній обмежуються тільки механічним взаємодією її складових, то кожна компонента кількості руху залишається незмінною як завгодно тривалий час. Це і є закон збереження імпульсу тіл, який математично записується так:

p = ∑ipi= const або

∑ipix= const; ∑ipiy= const; ∑ipiz= const.

Нижній індекс i — ціле число, яке нумерує об’єкт системи, а індекси x, y, z описують компоненти імпульсу на кожну з осей координат в декартовій прямокутній системі.

На практиці часто доводиться вирішувати одномірні задачі на зіткнення тіл, коли відомі початкові умови, і необхідно визначити стан системи після удару. У цьому випадку імпульс зберігається завжди, чого не можна сказати про кінетичної енергії. Остання до і після удару буде незмінною лише в єдиному випадку: коли має місце абсолютно пружне взаємодія. Для цього випадку зіткнення двох тіл, що рухаються зі швидкостями v1 і v2, формула закону збереження імпульсу прийме вигляд:

m1 * v1 + m2 * v2 = m1 * u1 + m2 * u2.

Тут швидкості u1 і u2 характеризують рух тіл після удару. Зазначимо, що в цьому виді закону збереження необхідно враховувати знак швидкостей: якщо вони спрямовані назустріч один одному, то слід прийняти одну позитивну, а іншу — від’ємною.

Для абсолютно непружного зіткнення (два тіла злипаються після удару) закон збереження кількості руху має форму:

m1 * v1 + m2 * v2 = (m1 + m2) * u.

Рішення завдання на закон збереження величини p

Розв’яжемо наступну задачу: дві кулі котяться назустріч одне одному. Маси кульок однакові, а їх швидкості дорівнюють 5 м/с і 3 м/с. Вважаючи, що має місце абсолютно пружне зіткнення, необхідно знайти швидкості куль після нього.

Дивіться також:  Роздільна здатність обєктива: поняття, формула

Користуючись законом збереження імпульсу для одновимірного випадку, а також враховуючи, що кінетична енергія зберігається після удару, запишемо:

v1 — v2 = u1 + u2;

v12 + v22 = u12 + u22.

Тут ми відразу скоротили маси куль через їх рівності, а також врахували той факт, що тіла рухаються назустріч одне одному.

Продовжити рішення системи простіше, якщо підставити відомі дані. Отримуємо:

5 — 3 — u2 = u1;

52 + 32 = u12 + u22.

Підставляючи u1 у другу рівність, отримуємо:

2 — u2 = u1;

34 = (2 — u2)2+u22=4 — 4u2 + 2u22; отже, u22 — 2u2 — 15 = 0.

Ми отримали класичне квадратне рівняння. Вирішуємо його через дискриминант, отримуємо:

D = 4 — 4(-15) = 64.

u2 = (2 ± 8) / 2 = (5; -3) м/c.

Ми отримали два рішення. Якщо їх підставити в перше вираження і визначити u1, тоді отримаємо такі значення: u1= -3 м/с, u2 = 5 м/с; u1= 5 м/с, u2 = -3 м/с. Друга пара чисел дана в умові задачі, тому реальному розподілу швидкостей після удару вона не відповідає.

Таким чином, залишається лише одне рішення: u1= -3 м/с, u2 = 5 м/с. Цей цікавий результат означає, що при центральному пружному зіткненні два кулі рівної маси просто обмінюються своїми швидкостями.

Загрузка...

Момент імпульсу

Все, що говорилося вище, відноситься до лінійного типу руху. Однак, виявляється, аналогічні величини можна запровадити і при круговому переміщенні тіл навколо деякої осі. Момент імпульсу, який також називають кутовим моментом, обчислюється як добуток вектора, що з’єднує матеріальну точку з віссю обертання, на імпульс цієї точки. Тобто має місце формула:

L = r * p, де p = m * v.

Момент імпульсу, як і величина p-це вектор, який направлений перпендикулярно площині, побудованої на векторах r і p.

Величина L є важливою характеристикою обертової системи, оскільки вона визначає енергію, яка в ній запасена.

Дивіться також:  Що таке архітектурний облом

Момент імпульсу і закон збереження

Момент імпульсу зберігається, якщо на систему не діють зовнішні сили (зазвичай говорять про відсутність моменту сил). Вираз у попередньому пункті шляхом нескладних перетворень можна записати в більш зручною для практики формі:

L = I * ω, де I = m * r2 — момент інерції матеріальної точки, ω — кутова швидкість.

Момент інерції I, який з’явився у виразі має такий самий сенс для обертання, що звичайна маса для лінійного руху.

Якщо має місце якась внутрішня перебудова системи, при якій I змінюється, то ω теж не залишається постійною. Причому зміна обох фізичних величин відбувається таким чином, що рівність нижче залишається справедливим:

I1 * ω1 = I2 * ω2.

Це і є закон збереження кутового моменту L. Його прояв спостерігав кожна людина, яка хоча б один раз відвідував балет або фігурне катання, де спортсменки виконують піруети з обертанням.

Дивіться також: