Рух навколо осі обертання є одним із поширених видів переміщення об’єктів у природі. У даній статті цей тип руху розглянемо з точки зору динаміки і кінематики. Також наведемо формули, що зв’язують основні фізичні величини.
Про який рух піде мова?
У буквальному сенсі мова піде про переміщення тіл по колу, тобто про їх обертанні. Яскравим прикладом такого руху є обертання колеса автомобіля або велосипеда під час переміщення транспортного засобу. Обертання навколо своєї осі фігуриста, що виконує складні піруети на льоду. Або обертання нашої планети навколо Сонця і навколо власної, нахиленій до площини екліптики, осі.
Як можна помітити, важливим елементом розглянутого типу руху є вісь обертання. Кожна точка тіла довільної форми вчиняє навколо неї кругові рухи. Відстань від точки до осі називають радіусом обертання. Від його значення залежать багато властивості всієї механічної системи, наприклад, момент інерції, лінійна швидкість і інші.
Динаміка обертання
Якщо причиною лінійного поступального переміщення тіл у просторі є діюча на них зовнішня сила, то причиною руху навколо осі обертання є зовнішній момент сили. Ця величина описується як векторний добуток прикладеної сили F на вектор відстані від точки її прикладення до осі r, тобто:
M = [r*F]
Дія моменту M призводить до появи кутового прискорення α в системі. Обидві величини пов’язані один з одним через деякий коефіцієнт I наступним рівністю:
M = I*α
Величина I називається моментом інерції. Він залежить як від форми тіла, так і від розподілу маси всередині нього і від відстані до осі обертання. Для матеріальної точки він обчислюється за формулою:
I = m*r2
Якщо зовнішній момент сили дорівнює нулю, тоді система зберігає свій момент імпульсу L. Це ще одна векторна величина, яка, згідно визначенню, дорівнює:
L = [r*p]
Тут p – імпульс лінійний.
Закон збереження моменту L прийнято записувати в такому вигляді:
I*ω = const
Де ω – кутова швидкість. Про неї мова піде далі у статті.
Кінематика обертання
На відміну від динаміки, цей розділ фізики розглядає виключно практичні важливі величини, пов’язані зі зміною в часі положення тіл у просторі. Тобто об’єктом вивчення кінематики обертання є швидкості, прискорення і кути повороту.
Для початку введемо кутову швидкість. Під нею розуміють кут, на який тіло робить поворот за одиницю часу. Формула для миттєвої кутової швидкості має вигляд:
ω = dθ/dt
Якщо за однакові проміжки часу тіло здійснює повороти на рівні кути, тоді обертання називають рівномірним. Для нього справедлива формула для середньої кутової швидкості:
ω = Δθ/Δt
Вимірюється ω в радіанах в секунду, що в системі СІ відповідає зворотним секундах (с-1).
У разі нерівномірного обертання використовують поняття кутового прискорення α. Воно визначає швидкість зміни в часі величини ω, тобто:
α = dω/dt = d2θ/dt2
Вимірюється α в радіанах в секунду квадратну (в СИ – с-2).
Якщо тіло спочатку оберталося рівномірно зі швидкістю ω0, а потім почало збільшувати свою швидкість з постійним прискоренням α, тоді такий рух можна описати наступною формулою:
θ = ω0*t + α*t2/2
Ця рівність отримується при інтегрування за часом рівнянь кутової швидкості. Формула для θ дозволяє розрахувати число оборотів, яке зробить система навколо осі обертання за час t.
Лінійна і кутова швидкості
Обидві швидкості одне з одним пов’язані. Коли говорять про швидкість обертання навколо осі, то можуть мати на увазі як лінійну, так і кутову характеристику.
Припустимо, що деяка матеріальна точка обертається навколо осі на відстані r зі швидкістю ω. Тоді її лінійна швидкість v буде дорівнює:
v = ω*r
Різниця між лінійною і кутовою швидкістю є суттєвою. Так, ω при рівномірному обертанні від відстані до осі не залежить, величина ж v лінійно зростає із збільшенням r. Останній факт пояснює, чому при збільшенні радіуса обертання складніше утримувати тіло на круговій траєкторії (збільшується його лінійна швидкість і, як наслідок, інерційні сили).
Завдання на обчислення швидкості обертання Землі навколо своєї осі
Кожен знає, що наша планета в Сонячній системі робить два види обертального руху:
- навколо своєї осі;
- навколо зірки.
Обчислимо швидкості ω і v для першого з них.
Кутову швидкість визначити не складно. Для цього згадаємо, що повний оборот, який дорівнює 2*pi радіан, планета робить за 24 години (точне значення 23 ч 56 хв 4,1 с.). Тоді значення ω буде дорівнює:
ω = 2*pi/(24*3600) = 7,27*10-5 радий/с
Розраховане значення є невеликим. Покажемо тепер, як сильно абсолютна величина ω відрізняється від такої для v.
Розрахуємо лінійну швидкість v для точок, що лежать на поверхні планети, на широті екватора. Оскільки Земля є сплюснутым кулею, то екваторіальний радіус трохи більше полярного. Він становить 6378 км Користуючись формулою зв’язку двох швидкостей, отримуємо:
v = ω*r = 7,27*10-5*6378000 ≈ 464 м/с
Отримана швидкість дорівнює 1670 км/год, що більше швидкості звуку в повітрі (1235 км/год).
Обертання Землі навколо своєї осі призводить до появи так званої коріолісової сили, яку слід враховувати при польоті балістичних ракет. Також вона є причиною багатьох атмосферних явищ, наприклад відхилення напрямку вітрів пасатів до заходу.
