Коли людина чує слово “піраміда”, то відразу згадує величні єгипетські споруди. Тим не менш древні кам’яні гіганти є лише одним з представників класу пірамід. У цій статті розглянемо з геометричної точки зору властивості правильної чотирикутної піраміди .
Що таке піраміда в загальному випадку?
В геометрії під нею розуміють об’ємну фігуру, отримати яку можна, якщо з’єднати всі вершини плоского багатокутника з однією єдиною точкою, що лежить в іншій площині, ніж цей багатокутник. Малюнок нижче показує 4 фігури, які задовольняють даного визначення.
Ми бачимо що перша фігура має трикутний основа, друга – чотирикутний. Дві останні представлені п’яти – і шестикутним підставою. Однак бічна поверхня всіх пірамід утворена трикутниками. Їх кількість точно дорівнює кількості сторін або вершин багатокутника в підставі.
Особливим типом пірамід, які від інших представниць класу відрізняються ідеальною симетрією, є правильні піраміди. Щоб фігура була правильною, повинні виконуватися наступні дві обов’язкові умови:
- в основі повинен знаходитися правильний багатокутник;
- бічна поверхня фігури повинна складатися з рівних рівнобедрених трикутників.
Зазначимо, що друга обов’язкова умова можна замінити іншим: перпендикуляр, проведений з вершини до основи піраміди (точка перетину бічних трикутників), повинен перетинати цю підставу в його геометричному центрі.
Правильна чотирикутна піраміда
Тепер перейдемо до теми статті розглянемо, які властивості правильної чотирикутної піраміди характеризують її. Спочатку покажемо на малюнку, як виглядає ця фігура.
Її основа є квадратом. Бокові сторони представляють 4 однакових рівнобедрених трикутника (вони також можуть бути рівносторонніми при певному співвідношенні довжини сторони квадрата і висоти фігури). Опущена з вершини піраміди висота перетне квадрат в його центрі (точка перетину діагоналей).
Ця піраміда має 5 граней (квадрат і чотири трикутника), 5 вершин (чотири з них належать основи) і 8 ребер. Вісь симетрії четвертого порядку, що проходить через висоту піраміди, переводить її в саму себе шляхом повороту на 90o.
Єгипетські піраміди в Гізі є правильними чотирикутними.
Далі наведемо формули, що дозволяють визначити всі характеристики цієї фігури.
Чотири основних лінійних параметра
Почнемо розгляд математичних властивостей правильної чотирикутної піраміди з формул висоти, довжини сторони підстави, бічного ребра і апофемы. Відразу скажемо, що всі ці величини пов’язані один з одним, тому досить знати тільки дві з них, щоб однозначно обчислити залишилися дві.
Припустимо, що відома висота h піраміди і довжина a сторони квадратного підстави, тоді бічне ребро b буде дорівнює:
b = √(a2 / 2 + h2)
Тепер наведемо формулу для довжини ab апофемы (висота трикутника, опущена на сторону основи):
ab = √(a2 / 4 + h2)
Очевидно, що бічне ребро b завжди більше апофемы ab.
Обидва вирази можна застосовувати для визначення всіх чотирьох лінійних характеристик, якщо відомі інші два параметри, наприклад ab і h.
Площа і об’єм фігури
Це ще два важливих властивості правильної чотирикутної піраміди . Підстава фігури має наступну площа:
So = a2
Цю формулу знає кожен школяр. Площа бічної поверхні, яка утворена чотирма однаковими трикутниками, можна визначити через апофему ab піраміди так:
Sb = 2 × a × ab
Якщо ab є невідомою, то можна визначити за формулами з попереднього пункту через висоту h або ребро b.
Загальна площа поверхні розглянутої фігури складається з площ So і Sb:
S = So + Sb = a2 + 2 × a × ab = a (a + 2 × ab)
Розрахована площа всіх граней піраміди показана на малюнку нижче у вигляді її розгортки.
Опис властивостей правильної чотирикутної піраміди не буде повним, якщо не розглянути формулу для визначення її обсягу. Ця величина для даної піраміди обчислюється наступним чином:
V = 1/3 × h × a2
Тобто V дорівнює третьої частини твору висоти фігури на площа її підстави.
Властивості правильної зрізаної чотирикутної піраміди
Отримати цю фігуру можна з вихідної піраміди. Для цього необхідно зрізати верхню частину піраміди площиною. Залишилася під площиною зрізу фігура буде називатися пірамідою усіченої.
Найзручніше вивчати характеристики усіченої піраміди, якщо її заснування паралельні один одному. У цьому випадку нижнє і верхнє підстави будуть подібними багатокутниками. Оскільки правильної чотирикутної піраміди підстава – це квадрат, то утворене при зрізі переріз теж буде представляти квадрат, але вже меншого розміру.
Бічна поверхня усіченої фігури утворена не трикутниками, а равнобедренными трапеціями.
Одним з важливих властивостей цієї піраміди є її обсяг, який розраховується за формулою:
V = 1/3 × h × (So1 + So2 + √(So1 × So2))
Тут h – відстань між основами фігури, So1, So2 – площі нижнього і верхнього підстав.
