Уміння обчислювати обсяг просторових фігур є важливим при рішення ряду практичних задач з геометрії. Однією з поширених фігур є піраміда. У цій статті розглянемо формули об’єму піраміди як повної, так і усіченої.
Піраміда як об’ємна фігура
Кожен знає про єгипетських пірамідах, тому добре представляє, про який фігурі піде мова. Тим не менш єгипетські кам’яні споруди є лише приватним випадком величезного класу пірамід.
Розглянутий геометричний об’єкт в загальному випадку являє собою многоугольное підстава, кожна вершина якого з’єднана з деякою точкою в просторі, що не належить площині підстави. Дане визначення призводить до фігури, що складається з одного n-кутника і n трикутників.
Будь-яка піраміда складається з n+1 граней, 2*n ребер і n+1 вершини. Оскільки розглянута фігура є досконалим полиэдром, то числа зазначених елементів підлягають рівності Ейлера:
2*n = (n+1) + (n+1) – 2.
Багатокутник, що знаходиться в основі, дає назву піраміди, наприклад, трикутна, п’ятикутна і так далі. Набір пірамід з різними підставами наведений на фото нижче.
Точка, в якій n трикутників фігури з’єднуються, називається вершиною піраміди. Якщо з неї опустити на підставу перпендикуляр і він перетне його геометричному центрі, тоді така фігура буде називатися прямій. Якщо ця умова не виконується, то має місце похила піраміда.
Пряма фігура, основу якої утворено рівностороннім (рівнокутним) n-кутником, називається правильною.
Формула об’єму піраміди
Для обчислення об’єму піраміди скористаємось інтегральним численням. Для цього розіб’ємо фігуру паралельними основи січними площинами на нескінченне число тонких шарів. Малюнок нижче показує чотирикутну піраміду висотою h і довжиною сторони L, в якій чотирикутником відзначений тонкий шар перерізу.
Площа кожного такого шару можна обчислити за формулою:
A(z) = A0*(h-z)2/h2.
Тут A0 – площа підстави, z – значення вертикальної координати. Видно, що якщо z = 0, то формула дає значення A0.
Щоб отримати формулу об’єму піраміди, потрібно обчислити інтеграл по всій висоті фігури, тобто:
V = ∫h 0(A(z)*dz).
Підставляючи залежність A(z) і обчислюючи первообразную, приходимо до виразу:
V = -A0*(h-z)3/(3*h 2)|h0 = 1/3*A0*h.
Ми отримали формулу об’єму піраміди. Щоб знайти величину V, досить помножити висоту фігури на площу основи, а потім результат поділити на три.
Зауважимо, що отриманий вираз справедливо для обчислення об’єму піраміди довільного типу. Тобто вона може бути похилій, а її основу представляти собою довільний n-кутник.
Правильна піраміда та її обсяг
Отриману в пункті вище загальну формулу для об’єму можна уточнити у разі піраміди з правильним підставою. Площа такої підстави обчислюється за наступною формулою:
A0 = n/4*L2*ctg(pi/n).
Тут L є довжиною сторони правильного багатокутника з n вершинами. Символ pi – число пі.
Підставляючи вираз для A0 в загальну формулу, отримуємо об’єм правильної піраміди:
Vn = 1/3*n/4*L2*h*ctg(pi/n) = n/12*L2*h*ctg(pi/n).
Наприклад, для трикутної піраміди ця формула приводить до наступного виразу:
V3 = 3/12*L2*h*ctg(60o) = √3/12*L2*h.
Для правильної чотирикутної піраміди формула обсягу набуває вигляду:
V4 = 4/12*L2*h*ctg(45o) = 1/3*L2*h.
Визначення обсягів правильних пірамід вимагає знання боку їх основи і висоти фігури.
Усічена піраміда
Припустимо, що ми взяли довільну піраміду і відсікли у неї частину бічної поверхні, яка містить вершину. Залишилася фігура називається усіченої піраміди. Вона складається вже з двох n-вугільних підстав і n трапецій, які їх з’єднують. Якщо січна площина була паралельна основи фігури, тоді утворюється усічена піраміда з паралельними такими підставами. Тобто довжини сторін одного з них можна отримати, помноживши довжини іншого на деякий коефіцієнт k.
Малюнок вище демонструє усічену правильну шестикутну піраміду. Видно, що верхня основа її так само, як і нижнє, утворено правильним шестикутником.
Формула об’єму усіченої піраміди, яку можна вивести, використовуючи подібне до наведеного інтегральне числення, має вигляд:
V = 1/3*h*(A0 + A1 + √(A0*A1)).
Де A0 і A1 – площі нижнього (великого) і верхнього (маленького) підстав відповідно. Змінної h позначається висота усіченої піраміди.
Об’єм піраміди Хеопса
Цікаво вирішити завдання на визначення обсягу, який укладає всередині себе найбільша єгипетська піраміда.
У 1984 році британські єгиптологи Марк Легнер (Mark Lehner) і Джон Гудман (Jon Goodman) встановили точні розміри піраміди Хеопса. Її початкова висота дорівнювала 146,50 метра (в даний час близько 137 метрів). Середня довжина кожної з чотирьох сторін споруди склала 230,363 метра. Підстава піраміди з високою точністю є квадратним.
Скористаємося наведеними цифрами для визначення обсягу цього кам’яного гіганта. Оскільки піраміда є правильної чотирикутної, тоді для неї справедлива формула:
V4 = 1/3*L2*h.
Підставляємо цифри, отримуємо:
V4 = 1/3*(230,363)2*146,5 ≈ 2591444 м3.
Об’єм піраміди Хеопса дорівнює практично 2,6 млн м3. Для порівняння зазначимо, що олімпійський басейн має об’єм 2,5 тис. м3. Тобто для заповнення всієї піраміди Хеопса знадобиться більше 1000 таких басейнів!
