Сфера – це одне з перших тіл, що володіють високою симетрією, властивості якого вивчають в шкільному курсі геометрії. У даній статті розглядається формула сфери, її відмінність від кулі, а також наводиться розрахунок площі поверхні нашої планети.
Сфера: поняття геометрії
Щоб краще зрозуміти формулу поверхні, яка буде дано нижче, необхідно познайомитися з поняттям сфери. В геометрії вона представляє собою трьохвимірне тіло, яке містить в собі певний обсяг простору. Математичне визначення сфери наступне: це сукупність точок, які лежать на певному однаковій відстані від однієї фіксованої точки, званої центром. Зазначене відстань – це радіус сфери, який позначається r або R і вимірюється в метрах (кілометрів, сантиметрах і інших одиницях довжини).
На малюнку нижче наведена описана фігура. Лінії показують контури її поверхні. Чорна точка – центр сфери.
Отримати цю фігуру можна, якщо взяти окружність і почати її обертати навколо будь-якої осі, що проходить через діаметр.
Сфера і куля: у чому різниця і в чому подібність?
Часто школярі плутають ці дві фігури, які зовні схожі один на одного, але володіють абсолютно різними фізичними властивостями. Сфера і куля в першу чергу відрізняються своєю масою: сфера – це нескінченно тонкий шар, шар ж – це об’ємне тіло кінцевої щільності, яка однакова у всіх його точках, обмежених сферичною поверхнею. Тобто куля має кінцевою масою і є цілком реальним об’єктом. Сфера – це ідеальна фігура, що не має маси, яка насправді не існує, але вона є вдалою ідеалізацією в геометрії при вивченні її властивостей.
Прикладами реальних об’єктів, форма яких практично відповідає сфері, є новорічна іграшка у вигляді кульки для прикраси ялинки або мильна бульбашка.
Що стосується схожості між цими фігурами, то можна назвати такі їх ознаки:
- обидві вони мають однакову симетрією;
- для обох формула площі поверхні є однаковою, більш того, вони володіють рівною площею поверхні, якщо їхні радіуси рівні;
- обидві фігури при однакових радіусах займають однаковий об’єм в просторі, тільки куля його заповнює повністю, а сфера лише обмежує своєю поверхнею.
Сфера і куля рівного радіусу наведено на малюнку нижче.
Зауважимо, що куля, так само як та сфера, є тілом обертання, тому його можна отримати, якщо обертати навколо діаметра коло (не окружність!).
Елементи сфери
Так називаються геометричні величини, знання яких дозволяє описати або всю фігуру, або окремі її частини. Основними її елементами є такі:
- Радіус r, який уже був згаданий раніше. Він є відстанню від центру фігури до сферичної поверхні. По суті, це єдина величина, яка описує всі властивості сфери.
- Діаметр d, або D. Це відрізок, кінці якого лежать на сферичній поверхні, а середина проходить через центральну точку фігури. Діаметр сфери можна провести нескінченним числом способів, але всі отримані відрізки будуть мати однакову довжину, яка дорівнює подвоєному радіусу, тобто D = 2*R.
- Площа поверхні S – двовимірна характеристика, формула для якої буде наведена нижче.
- Пов’язані зі сферою тривимірні кути вимірюються в стерадианах. Один стерадиан – це кут, вершина якого лежить у центрі сфери, який спирається на частину сферичної поверхні, що має площу R2.
Геометричні властивості сфери
З наведеного опису цієї фігури можна самостійно здогадатися про ці властивості. Вони наступні:
- Будь-яка пряма, яка перетинає сферу і проходить через її центр, є віссю симетрії фігури. Поворот сфери навколо цієї осі на будь-який кут переводить її в саму себе.
- Площина, яка перетинає розглянуту фігуру через її центр, ділить сферу на дві рівні частини, тобто є площиною відбивання.
Площа поверхні фігури
Ця величина позначається латинською буквою S. Формула обчислення площі сфери має наступний вигляд:
S = 4*pi*R2, де pi ≈ 3,1416.
Формула демонструє, що площа S може бути обчислена за умови знання радіусу фігури. Якщо ж відомий її діаметр D, тоді формулу сфери можна записати так:
S = pi*D2.
Ірраціональне число pi, для якого наведені чотири знака після коми, у ряді математичних розрахунків можна використовувати з точністю до сотих, тобто 3,14.
Цікаво також розглянути питання, скільком стерадианам відповідає вся поверхня даної фігури. Виходячи з визначення цієї величини, отримуємо:
Ω = S/R2 = 4*pi*R2/R2 = 4*pi стерадиан.
Для обчислення будь-якого об’ємного кута слід підставити вираз вище відповідне значення площі S.
Поверхня планети Земля
Формулу сфери можна застосувати для визначення площі поверхні планети, на якій ми живемо. Перед тим як приступати до обчислень, слід зробити кілька застережень:
- По-перше, Земля не має ідеальної сферичної поверхнею. Її екваторіальний і полярний радіуси рівні 6378 км і 6357 км відповідно. Відмінність між цими цифрами не перевищує 0,3%, тому для розрахунку можна взяти середній радіус-6371 км
- По-друге, рельєф поверхні Землі є тривимірним, тобто на ній є западини і гори. Ці характерні особливості планети призводять до збільшення її площі поверхні, тим не менш, у розрахунку їх враховувати не будемо, оскільки навіть найбільша гора Еверест, становить 0,1% від земного радіуса (8,848/6371).
Використовуючи формулу сфери, отримуємо:
S = 4*pi*R2 = 4*3,1416*63712 ≈ 510,066 млн. км2.
Росія, за офіційними даними, займає площу 17,125 млн км2, що складає 3,36% від поверхні планети. Якщо ж врахувати, що до суші відносяться лише 150,387 млн км2, тоді площа нашої країни складе 11,4% від усієї території, не покритою водою.
