Приклади вирішення задач на визначення кута перетину площин
Знаючи, як знайти кут між площинами, розв’яжемо наступну задачу. Дано дві площини, рівняння яких мають вигляд:
3 * x + 4 * y – z + 3 = 0;
-x – 2 * y + 5 * z +1 = 0
Чому дорівнює кут між площинами?
Щоб відповісти на запитання задачі, згадаємо, що коефіцієнти, які стоять при змінних в рівнянні площини загалом, є координатами вектора направляючого. Для зазначених площин маємо наступні координати їх нормалей:
n1(3; 4; -1);
n2(-1; -2; 5)
Тепер знайдемо скалярний добуток цих векторів і їх модулі, маємо:
(n1 * n2) = -3 -8 -5 = -16;
|n1| = √(9 + 16 + 1 ) = √26;
|n2| = √(1 + 4 + 25) = √30
Тепер можна підставити знайдені числа наведену в попередньому пункті формули. Отримуємо:
α = arccos(|-16 | / (√26 * √30) ≈ 55,05 o
Отримане значення відповідає гострого кута перетину площин, зазначених в умові задачі.
Тепер розглянемо інший приклад. Дано дві площини:
x + y -3 = 0;
3 * x + 3 * y + 8 = 0
Перетинаються вони? Випишемо значення координат їх направляючих векторів, порахуємо скалярний добуток їх і модулі:
n1(1; 1; 0);
n2(3; 3; 0);
(n1 * n2) = 3 + 3 + 0 = 6;
|n1| = √2;
|n2| = √18
Тоді кут перетину дорівнює:
α = arccos(|6| / (√2 * √18) =0o.
Цей кут говорить про те, що площини не перетинаються, а є паралельними. Той факт, що вони не збігаються один з одним перевірити просто. Візьмемо для цього довільну точку, що належить до першої з них, наприклад, P(0; 3; 2). Підставимо її координати у друге рівняння, отримаємо:
3 * 0 +3 * 3 + 8 = 17 ≠ 0
Тобто точка P належить тільки першої площини.
Таким чином, дві площини є паралельними, коли такими будуть їх нормалі.
