Рівняння площини
Відомо кілька форм запису рівняння для площини у просторі. Тут же розглянемо одну з них, яка найчастіше використовується при розрахунку кутів між двома площинами або між одним з них і прямий.
Якщо відомий деякий вектор n(A; B; C), який перпендикулярний шуканої площини, а також зазначена точка P(x0; y0; z0), що належить їй, то загальне рівняння для останньої має вигляд:
A * x + B * y + C * z + D = 0, де D = -1 * (A * x0 + B * y0 + C * z0)
Ми опустили виведення цього виразу, який є досить простим. Тут лише зауважимо, що, знаючи коефіцієнти при змінних в рівнянні площини, можна з легкістю знайти всі вектори, які перпендикулярні їй. Останні називаються нормалями і використовуються при розрахунках кутів між похилою і площиною і між довільними аналогами.
Розташування площин і формула кута між ними
Припустимо, є дві площини. Які існують варіанти їх взаємного розташування в просторі. Оскільки площина має два нескінченних розміру і один нульовий, то можливі лише два варіанти їх взаємної орієнтації:
- вони будуть паралельними один одному;
- вони можуть перетинатися.
Кутом між площинами називається показник між їх напрямними векторами, тобто між нормалями n1 і n2.
Очевидно, що якщо є паралельними площині, то кут перетину дорівнює нулю між ними. Якщо ж вони перетинаються, то він відмінний від нуля, але завжди є гострим. Приватним випадком перетину буде кут 90 o, коли площини взаємно перпендикулярні один одному.
Кут α між n1 і n2 легко визначається скалярного добутку цих векторів. Тобто має місце формула:
α = arccos((n1 * n2)/(|n1| * |n2|))
Припустимо, що координати цих векторів наступні: n1(a1; b1; c1), n2(a2; b2; c2). Тоді, використовуючи формули для обчислення скалярного добутку і модулів векторів через їх координати, вище вираз можна переписати у вигляді:
α = arccos(|a1 * a2 + b1 * b2 + c1 * c2| / (√(a12 + b12 + c12) * √(a22 + b22 + c22)))
Модуль в чисельнику з’явився тому, щоб виключити значення тупих кутів.
