Завдання: площина перетинає пряму
Тепер покажемо, як працювати з наведеною формулою. Вирішимо завдання: необхідно обчислити кут між віссю y і площиною, заданої рівнянням:
y – z + 12 = 0
Ця площина показана на малюнку.
Видно, що вона перетинає осі y і z у точках (0; -12; 0) і (0; 0; 12) відповідно і паралельна осі x.
Направляючий вектор прямої y має координати (0; 1; 0). Вектор, який перпендикулярний до заданої площини, характеризується координатами (0; 1; -1). Застосовуємо формулу для кута перетину прямої і площини, отримуємо:
α = arcsin(|1| / (√1 * √2)) = arcsin(1 / √2) = 45o
Завдання: паралельна площині пряма
Тепер вирішимо аналогічну попередній завдання, питання якої поставлено інакше. Відомі рівняння площини і прямої:
x + y – z – 3 = 0;
(x; y; z) = (1; 0; 0) + λ * (0; 2; 2)
Необхідно з’ясувати, чи є ці геометричні об’єкти паралельними один одному.
Маємо два вектори: направляючий прямої дорівнює (0; 2; 2) і направляючий площини дорівнює (1; 1; -1). Знаходимо їх скалярний добуток:
0 * 1 + 1 * 2 – 1 * 2 = 0
Отриманий нуль говорить про те, що кут між цими векторами дорівнює 90 o, що доводить паралельність прямої і площини.
Тепер перевіримо, чи є ця пряма тільки паралельної або ж ще і лежить в площині. Для цього слід вибрати довільну точку на прямій і перевірити, чи належить вона площині. Наприклад, візьмемо λ = 0, тоді точка P(1; 0; 0) прямий належить. Підставляємо в рівняння площини P:
1 – 3 = -2 ≠ 0
Точка P не належить площині, а значить, і вся пряма в ній не лежить.
