Де важливо знати кути між розглянутими геометричними об’єктами?
Наведені вище формули та приклади розв’язання задач являють собою не тільки теоретичний інтерес. Вони часто застосовуються для визначення важливих фізичних величин реальних об’ємних фігур, наприклад призми або піраміди. Важливо вміти визначити кут між площинами при розрахунку обсягів фігур та площ їх поверхонь. При цьому, якщо у випадку прямої призми можна не використовувати ці формули для визначення зазначених величин, то для будь-якого виду піраміди їх застосування виявляється неминучим.
Нижче розглянемо приклад використання викладеної теорії для визначення кутів піраміди з квадратною основою.
Піраміда та її кути
Нижче малюнок демонструє піраміду, в основі якої лежить квадрат зі стороною а. Висота фігури становить h. Потрібно знайти два кути:
- між бічною поверхнею і підставою;
- між бічним ребром і підставою.
Щоб вирішити поставлене завдання, спочатку слід ввести систему координат і визначити параметри відповідних вершин. На малюнку показано, що початок координат збігається з точкою у центрі квадратного підстави. У цьому випадку площину підстави описується рівнянням:
z = 0
Тобто для будь-яких x і y значення третьої координати завжди дорівнює нулю. Бічна площину ABC перетинає вісь z в точці B(0; 0; h), а вісь y у точці з координатами (0; a/2; 0). Вісь x вона не перетинає. Це означає, що рівняння площини ABC можна записати у вигляді:
y / (a / 2) + z / h = 1 або
2 * h * y + a * z – a * h = 0
Вектор AB є бічним ребром. Координати його початку і кінця дорівнюють: A(a/2; a/2; 0) і B(0; 0; h). Тоді координати самого вектора:
AB(-a/2; -a/2; h)
Ми знайшли всі необхідні рівняння і вектора. Тепер залишається скористатися розглянутими формулами.
Розрахуємо спочатку в піраміді кут між площинами основи і бічної сторони. Відповідні нормальні вектора дорівнюють: n1(0; 0; 1) і n2(0; 2*h; a). Тоді кут складе:
α = arccos(a / √(4 * h 2 + a2 ))
Кут між площиною і ребром AB буде дорівнює:
β = arcsin(h / √(a2 / 2 + h2 ))
Залишається підставити конкретні значення сторони підстави a і висоти h, щоб отримати необхідні кути.
