Площина та пряма
У разі розгляду взаємного розташування між площиною і прямою існує дещо більше варіантів, ніж з двома площинами. Цей факт пов’язаний з тим, що пряма є одновимірним об’єктом. Пряма і площина можуть бути:
- взаємно паралельними, в цьому випадку площина не перетинає пряму;
- остання може належати площині, при цьому вона також буде паралельна їй;
- обидва об’єкти можуть перетинатися під деяким кутом.
Розглянемо спочатку останній випадок, оскільки він вимагає введення поняття про кут перетину.
Пряма і площина, значення кута між ними
Якщо пряма перетинає площину, то вона називається похилою по відношенню до неї. Точку перетину прийнято називати основою похилої. Щоб визначити між цими геометричними об’єктами кут, необхідно опустити з будь-якої точки прямої перпендикуляр на площину. Тоді точка перетину перпендикуляра з площиною і місце перетину з нею похилій утворюють пряму. Остання називається проекцією прямої вихідної на цю площину. Гострий кут між прямою і проекцією її є шуканим.
Кілька заплутане визначення кута між площиною і похилій прояснить малюнок нижче.
Тут кут ABO – це кут між AB прямою і площиною.
Щоб записати формулу для нього, розглянемо приклад. Нехай є пряма і площина, що описуються рівняннями:
(x ; y ; z ) = (x0; y0; z0) + λ * (a; b; c);
A * x + B * x + C * x + D = 0
Розрахувати потрібний кут для цих об’єктів можна легко, якщо знайти скалярний добуток між напрямними векторами прямої і площини. Отриманий гострий кут слід відняти від 90o, тоді він виходить між прямою і площиною.
Малюнок вище демонструє описаний алгоритм знаходження даного кута. Тут β – це кут між нормаллю і прямий, а α – між прямою і її проекцією на площину. Видно, що їх сума дорівнює 90o.
Вище була представлена формула, що дає відповідь на питання, як знайти кут між площинами. Тепер наведемо відповідний вираз для випадку прямої і площини:
α = arcsin(|a * A + b * B + c * C| / (√(a 2 + b2 + c 2) * √(A 2 + B 2 + C 2)))
Модуль у формулі дозволяє обчислювати тільки гострі кути. Функція арксинуса з’явилася замість арккосинуса завдяки використанню відповідної формули приведення між тригонометричними функціями (cos(β) = sin(90o-β) = sin(α)).
