Ітераційна формула Герона для знаходження значень коренів квадратних
Наведені вище приклади є дуже простими, і обчислення коренів у них не представляє ніякої праці. Складності починають з’являтися вже при знаходженні значень кореня для будь-якого значення, яке не може бути представлено у вигляді квадрату натурального числа, наприклад √10, √11, √12, √13, не кажучи вже про те, що на практиці необхідно знаходити коріння для нецілих чисел: наприклад √(12,15), √(8,5) і так далі.
У всіх вищезгаданих випадках слід застосовувати спеціальний метод обчислення кореня квадратного. В даний час таких методів відомо кілька: наприклад розкладання в ряд Тейлора, ділення стовпчиком і деякі інші. З усіх відомих методів, мабуть, найбільш простим та ефективним є використання ітераційної формули Герона, яка також відома як вавилонський спосіб визначення квадратних коренів (існують свідоцтва, що стародавні вавілоняни використовували її в своїх практичних обчисленнях).
Нехай необхідно визначити значення √x. Формула знаходження квадратного кореня має наступний вигляд:
an+1 = 1/2(an+x/an), де limn->∞(an) => x.
Розшифруємо цю математичну запис. Для обчислення √x слід взяти деяке число a0 (воно може бути довільним, однак для швидкого отримання результату слід вибирати його таким, щоб (a0)2 було максимально близько до x. Потім підставити його у вказану формулу обчислення квадратного кореня і отримати нове число a1, яке вже буде ближче до шуканого значення. Після цього необхідно вже a1 підставити у вираз і отримати a2. Цю процедуру слід повторювати до отримання необхідної точності.
