Момент інерції однорідного диска
Отримані в попередньому пункті знання застосовні для розрахунку моменту інерції однорідного циліндра, який у випадку h
Для вирішення поставленої задачі достатньо розрахувати інтеграл по об’єму тіла. Випишемо вихідну формулу:
I = ∫V(ρ *r2dV).
Якщо вісь обертання проходить перпендикулярно до площини диска через його центр, тоді можна уявити цей диск у вигляді нарізаних дрібних кілець, товщина кожного з них є дуже малою величиною dr. У цьому разі обсяг такого колечка можна розрахувати так:
dV = 2*pi*r*h*dr.
Це рівність дозволяє інтеграл за обсягом замінити на інтегрування по радіусу диска. Маємо:
I = ∫r(ρ *r2*2*pi*r*h*dr) = 2*pi*h*ρ*∫r(r3*dr).
Обчислюючи первообразную подынтегрального вирази, а також враховуючи, що інтегрування проводиться по радіусу, який змінюється від 0 до r, отримуємо:
I = 2*pi*h*ρ*r4/4 = pi*h*ρ*r4/2.
Оскільки маса даного диска (циліндра) дорівнює:
m = ρ*V і V = pi*r2*h,
то отримуємо кінцеве рівність:
I = m*r2/2.
Ця формула моменту інерції диска справедлива для будь-якого однорідного циліндричного тіла довільної товщини (висоти), вісь обертання якого проходить через його центр.
