Знання моменту інерції тіла дозволяє скористатися законом збереження моменту імпульсу або виразом для опису кругового руху з кутовим прискоренням. У цій статті розглянемо, як знаходити для циліндра момент інерції при різному положенні осей обертання.
Момент інерції: математичне визначення
Осьовий момент інерції вводиться в фізику вивчення законів обертального руху тел. Для матеріальної точки з масою m, що обертається на відстані r від осі, момент інерції буде дорівнює:
I = m*r2
В загальному випадку для тіла, яке має довільний розподіл речовини в просторі (яку геометричну форму), величину I можна обчислити так:
I = ∫r2dm
По суті, цей вираз є узагальненням попереднього. У ньому проводиться підсумовування (інтегрування) моментів від кожної елементарної частинки dm, відстань до осі від якої дорівнює r.
Якщо говорити про фізичному значенні розглянутої величини I, то вона показує, наскільки сильно” система пручається впливу зовнішнього моменту сили, який намагається її розкрутити або, навпаки, зупинити.
Момент інерції циліндра відносно осі, його підстав перпендикулярної
З наведеної вище формули можна зрозуміти, що величина I є характеристикою всієї обертової системи, тобто вона залежить від форми тіла і розподілу в ньому маси, так і від відносного положення осі.
У цьому пункті розглянемо простий випадок: необхідно визначити момент інерції для суцільного циліндра, вісь обертання якого перпендикулярна його підстав і проходить через гравітаційний центр фігури.
Для вирішення проблеми застосуємо інтегральну формулу для I. В процесі операції інтегрування подумки розіб’ємо циліндр на тонкі кільця товщиною dr. Кожне колечко буде мати обсяг: dV = 2*pi*r*dr*h, тут h – висота фігури. Враховуючи, що dm = ρ*dV, де ρ – щільність циліндра, отримуємо:
I = ∫r2dm = ρ*∫r2dV = 2*pi*ρ*h*∫r3dr
Цей інтеграл необхідно обчислити для межами від 0 до R, де R – радіус фігури. Тоді отримаємо:
I = 2*pi*ρ*h*∫R0r3dr = 2*pi*ρ*h/4*(r4)∣R0 = pi*ρ*h*R4/2
Скориставшись формулою для маси циліндра через його обсяг і щільність, приходимо до кінцевого виразом:
I = m*R2/2, де m = pi*ρ*h*R2
Ми отримали формулу для моменту інерції однорідного циліндра. Вона показує, що величина I для цієї фігури в 2 рази менше, ніж для матеріальної точки аналогічної маси, яка обертається на відстані радіуса циліндра від осі.
Момент інерції полого циліндра
Тепер залишимо вісь на тому ж місці і знайдемо значення I для циліндра з порожнечею всередині (втулка, труба). Таку фігуру описують двома радіусами: зовнішнім R1 і внутрішнім R2. В цьому випадку для інтегрування застосовується абсолютно той же підхід, що і для суцільного циліндра, тільки межі тепер змінюються від R2 R1. Маємо:
I = 2*pi*ρ*h/4*(r4)∣R1R2 = pi*ρ*h*R4/2∣R1R2 = pi*ρ*h/2*(R14-R24)
Для подальшого спрощення цієї формули скористаємося розкладанням на множники вираз у дужках, отримаємо:
I = pi*ρ*h*(R12-R22)*(R12+R22)/2
Частина цього виразу разом з першими дужками є масою порожнього циліндра, тому отримуємо кінцеву формулу:
I = m*(R12+R22)/2
Звідси видно, що момент інерції полого циліндра більше цього значення для суцільного циліндра аналогічної маси і такого ж зовнішнього радіуса на величину m*R22/2. Цей результат не викликає подиву, оскільки підлогою циліндрі центр мас знаходиться від осі обертання далі, ніж у суцільному.
Величина I для циліндра, вісь обертання якого проходить паралельно площинам його заснування
У такій системі вісь обертання проходить через центр маси циліндра, але тепер він лежить на боці (на циліндричній поверхні, див. рис. нижче).
Розрахунок для моменту інерції циліндра для такої ситуації є непростим завданням, оскільки вимагає наявності додаткових знань для її вирішення. Тим не менш наведемо необхідні математичні викладки, щоб читачі мали більш повне уявлення про проведення інтегрування при обчисленні I.
Починаємо вирішувати завдання. Розбиваємо суцільний циліндр на окремі диски нескінченно малої товщини. Щоб дізнатися, яким моментом інерції має цей диск відносно осі, що проходить через нього і паралельна його підстав, необхідно виконати окреме інтегрування. Воно дає наступний результат:
Ii = R2*dm/4
Щоб знайти величину Ii для цього диска відносно вже нової осі, яка розглядається в задачі, необхідно скористатися теоремою Штейнера. Отримаємо:
Ii = R2*dm/4 + L2*dm, тут L – відстань від осі до тонкого диска.
Знаючи, що dm = pi*R2*dL*ρ, підставляємо в інтегральну формулу для I і проводимо інтегрування по межам (-L0/2; +L0/2), маємо:
I = ∫mIi = ∫m(R2*dm/4 + L2*dm) = pi*R2*ρ*∫L0/2-L0/2(R2*dL/4 + L2*dL)
Рішення цього інтеграла призводить до кінцевої формулою:
I = m*(R2/4 + L02/12)
Приклад розв’язання задачі
Вирішимо цікаву задачу на знаходження осьового моменту інерції циліндра. Нехай він лежить на циліндричній поверхні, а вісь обертання розташована паралельно його основи і проходить через кінець фігури.
Ця ситуація повністю аналогічна розглянутої в попередньому пункті, тільки вісь перетинає не гравітаційний центр циліндра, а кінець цієї фігури. Тим не менше для вирішення проблеми можна скористатися результатом попереднього пункту статті. Застосуємо таку теорему Штейнера, отримаємо:
I = m*R2/4 + m*L02/12 + m*(L0/2)2 = m*R2/4 + m*L02/3
Зауважимо, що якщо R<
I = m*L02/3
Цей момент інерції відповідає стрижня з віссю обертання на його кінці.
