Завдання на складання рівняння площини
Дано координати трьох точок:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Як буде виглядати рівняння площині, що містить всі ці точки.
Через три точки, які не належать одній прямій, можна провести тільки одну площину. Щоб знайти її рівняння, спочатку обчислимо направляючий вектор площини n. Для цього зробимо наступним чином: знайдемо довільні два вектора, що належать площині, і обчислимо їх векторний добуток. Воно дасть вектор, який цій площині буде перпендикулярний, тобто n. Маємо:
M1M2 = (1; -1; 5); M1M3 = (-1; -2; -2);
n = [M1M2 × M1M3] = (12; -3; -3)
Візьмемо точку M1 для складання виразу площині. Отримуємо:
D = -1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0) = -12;
12 × x – 3 × y – 3 × z – 12 = 0 =>
4 × x – y – z – 4 = 0
Ми отримали вираз загального типу для площини у просторі, визначивши спочатку направляючий вектор для неї.
Властивість векторного добутку слід запам’ятати при вирішенні завдань з площинами, оскільки воно дозволяє простим способом визначати координати нормального вектора.
