Завдання прямій через вектор
Припустимо, що у нас є деякий вектор v з відомими координатами (a; b; c). Оскільки координат три, то заданий вектор в просторі. Як зобразити його в прямокутній системі координат? Робиться це дуже просто: на кожній з трьох осей відкладається відрізок, довжина якого дорівнює відповідної координати вектора. Точка перетину трьох перпендикулярів, відновлених до площинах xy, yz і xz, буде кінцем вектора. Початком його є точка (0; 0; 0).
Тим не менш наведене положення вектора не є єдиним. Аналогічним чином можна намалювати v, розташовуючи його початок в довільній точці простору. Ці міркування говорять про те, що поставити конкретну пряму з допомогою вектора не можна. Він задає сімейство з нескінченного числа паралельних прямих.
Тепер зафіксуємо деяку точку P(x0; y0; z0) простору. І поставимо умову: через P повинна проходити пряма. У цьому випадку вектор v теж повинен містити цю точку. Останній факт означає, що можна поставити одну єдину пряму, використовуючи P і v. Вона запишеться у вигляді наступного рівняння:
Q = P + λ × v
Тут Q – будь-яка точка, що належить прямій. Цю точку можна отримати, підібравши відповідний параметр λ. Записане рівняння називається векторним, а v отримав назву направляючого вектора прямої. Розташовуючи так, щоб він проходив через P, і змінюючи його довжину за допомогою параметра λ, ми отримуємо кожну точку Q прямій.
В координатній формі рівняння запишеться так:
(x; y; z) = (x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
І в явному (параметричному вигляді можна записати:
x = x0 + λ × a;
y = y0 + λ × b;
z = z0 + λ × c
Якщо в наведених виразах виключити третю координату, то ми отримаємо векторні рівняння прямої на площині.
