Завдання на складання векторного рівняння
Відомо, що пряма описується наступним рівнянням:
y = 3 × x – 4
Слід написати відповідну вираз у векторній формі.
Це типове рівняння прямої, відоме кожному школяреві записано в загальному вигляді. Покажемо, як його переписати у векторній формі.
Вираз можна представити у вигляді:
(x; y) = (x; 3 × x – 4)
Видно, що якщо його розкрити, то вийде початкове рівність. Тепер розділимо його праву частину на два вектора так, щоб тільки один з них містив ікси, маємо:
(x; y) = (x; 3 × x) + (0; -4)
Залишається винести x за дужки, позначити його грецьким символом і поміняти вектора правій частині місцями:
(x; y) = (0; -4) + λ × (1; 3)
Ми отримали векторну форму запису вихідного виразу. Координати направляючого вектора прямої рівні (1; 3).
Завдання на визначення взаємного розташування прямих
У просторі задано дві прямі:
(x; y; z) = (1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);
(x; y; z) = (3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
Вони є паралельними, мимобіжними або перетинаються?
Ненульові вектори (-1; 3; 1) і (1; 2; 0) будуть напрямними для цих прямих. Виразимо в параметричній формі ці рівняння і підставимо координати першого в друге. Отримуємо:
x = 1 – λ;
y = 3 × λ;
z = -2 + λ;
————-
x = 3 + γ = 1 – λ => γ = -2 – λ;
y = 2 + 2 × γ = 3 × λ => γ = 3 / 2 × λ – 1;
z = 2 = -2 + λ => λ = 4
Підставляємо знайдений параметр λ два рівняння вище, отримуємо:
γ = -2 – λ = -6;
γ = 3 / 2 × λ – 1 = 5
Параметр γ не може одночасно приймати два різних значення. Це означає, що прямі не мають жодної спільної точки, тобто є мимобіжними. Паралельними вони не є, так як ненульові вектори не паралельні один одному (для їх паралельності повинно існувати число, яке б шляхом множення на один вектор призводило до координат другого).
