Похила до площини
У питанні перпендикуляра і похилої залишається розглянути похилу до площини.
Будь-яка пряма, яка перетинає задану площину під деяким гострим кутом, є похилій до неї. Якщо кожну точку прямої проектувати на площину, провівши відповідні перпендикуляри до неї, то ми отримаємо проекцію всій прямій. Кут між проекцією і вихідної прямої є кутом перетину розглянутих об’єктів.
Нижче на малюнку наводиться пряма r, яка є похилій площині «пі».
Пряма r’ – це проекція r. Кут між «пі» і r позначено як α. Для його визначення користуються наступною формулою:
α = arcsin(|(v*n)|/(|v|*|n|))
Де v і n – направляючі вектори прямої r і площини «пі» відповідно (див. рис.).
Приклад завдання
Покажемо, як можна використовувати отримані знання про перпендикулярі і похилою, щоб вирішити наступну задачу:
Дано рівняння прямої та площини:
(x; y; z) = (1; 0; 2) + λ*(1; 1; 1);
x + 2*y – 1 = 0
Задана пряма є похилій площині. Необхідно визначити, під яким кутом вони перетинаються.
Випишемо координати відповідних направляючих векторів:
для прямої: v = (1; 1; 1);
для площині: n = (1; 2; 0)
Підставимо ці значення в формулу для кута α, отримуємо:
α = arcsin(|((1; 1; 1)*(1; 2; 0))|/(|(1; 2; 0)|*|(1; 1; 1)|)) =
= arcsin(3/(√5*√3)) ≈ 50,77 o
Таким чином, пряма, будучи похилій площині, перетинає її під кутом 50,77 o.
