Трикутні, чотирикутні і шестикутні призми – це найпоширеніші об’ємні фігури серед інших подібних, які зустрічаються в побуті і природі. Вивченням їх властивостей займається стереометрія, або просторова геометрія. У даній статті розкриємо питання про те, як можна знайти площу бічної поверхні правильної трикутної призми, а також чотирикутної і шестикутної.
Що собою являє призма?
Перед тим як розраховувати площу бічної поверхні правильної трикутної призми та інших видів цієї фігури, слід розібратися, що вони собою представляють. Потім навчимося визначати, що цікавлять величини.
Призмою, з точки зору геометрії, називається об’ємне тіло, яке обмежене двома довільними однаковими многокутниками і n параллелограммами, де n – це число сторін одного многокутника. Намалювати таку фігуру легко, для цього слід зобразити який-небудь багатокутник. Потім провести з кожної його вершини відрізок, який дорівнює по довжині і паралельний всім іншим. Потім потрібно з’єднати кінці цих ліній між собою так, щоб вийшов ще один багатокутник, рівний вихідному.
Вище видно, що фігура обмежена двома пятиугольниками (вони називаються нижнім і верхнім підставами фігури) і п’ятьма параллелограммами, які на рисунку відповідають прямокутникам.
Всі призми відрізняються один від одного двома головними параметрами:
- типом багатокутника, що лежить в основі фігури;
- кутами між параллелограммами і підставами.
Кількість сторін прямокутника дає назву призмі. Звідси отримуємо вище згадані трикутну, шестикутну та чотирикутну фігури.
Також вони різняться за величиною нахилу. Що стосується зазначених кутів, якщо вони рівні 90o, тоді таку призму називають прямою, або прямокутної (кут нахилу дорівнює нулю). Якщо деякі з кутів не є прямими, то фігура зветься косокутної. Відмінність між ними видно з першого погляду. Малюнок нижче демонструє ці різновиди.
Як видно, висота h прямої призми збігається з довжиною її бічного ребра. У разі косокутної цей параметр завжди менше.
Яка призма називається правильною?
Оскільки ми повинні відповісти на питання про те, як знайти площу бічної поверхні призми (трикутної, чотирикутної і так далі), то потрібно дати визначення цьому типу об’ємної фігури. Розберемо матеріал докладніше.
Правильна призма – це прямокутна фігура, у якої правильний багатокутник утворює ідентичні підстави. Цією фігурою може бути рівносторонній трикутник, квадрат та інші. Будь-n-кутник, всі довжини сторін і кути якого однакові, буде правильним.
Ряд таких призм показано схематично на малюнку нижче.
Бічна поверхня призми
Як було сказано у визначенні призми, ця фігура складається з n + 2 площин, які, перетинаючись, утворюють n + 2 межі. Дві з них належать підставах, інші утворені параллелограммами. Площа всієї поверхні складається з суми площ зазначених граней. Якщо в неї не включати значення двох підстав, тоді ми отримуємо відповідь на питання про те, як знайти площу бічної поверхні призми. Так, можна визначити її значення і підстав окремо один від одного.
Нижче наводиться розгортка трикутної призми, для якої бічна поверхня утворена трьома чотирикутниками.
Розглянемо процес обчислення далі. Очевидно, що площа бічної поверхні призми дорівнює сумі n площ відповідних паралелограмів. Тут n – це число сторін багатокутника, що утворює основу фігури. Площа кожного паралелограма можна знайти, якщо помножити довжину його сторони на опущену на неї висоту. Це стосується загального випадку.
Якщо вивчається призма є прямою, тоді процедура визначення площі його бічної поверхні Sb значно полегшується, оскільки така поверхня складається з прямокутників. У цьому випадку можна скористатися наступною формулою:
Sb = Po*h,
де h – висоти фігури, Po – периметр її підстави
Правильна призма і її бічна поверхня
Наведена у пункті вище формула в разі такої фігури приймає цілком конкретний вигляд. Оскільки периметр n-кутника дорівнює добутку числа його сторін на довжину однієї, то виходить наступна формула:
Snb = n*a*h
Де a – довжина сторони відповідного n-кутника.
Площа бічної поверхні правильної трикутної призми, чотирикутної і шестикутної
Скористаємося формулою вище, щоб визначити необхідні значення для зазначених трьох типів фігур. Розрахунки будуть виглядати наступним чином.
Для трикутної формула прийме вид:
S3b = 3*a*h
Наприклад, сторона трикутника дорівнює 10 см, а висота фігури – 7 см, тоді:
S3b = 3*10*7 = 210 см2
У разі чотирикутної призми шуканий вираз приймає форму:
S4b = 4*a*h
Якщо взяти ті ж значення довжин, що і в попередньому прикладі, тоді отримуємо:
S4b = 4*10*7 = 280 см2
Площа бічної поверхні шестикутної призми розраховується за формулою:
S6b = 6*a*h
Підставляючи ті ж числа, що і у попередніх випадках, маємо:
S6b = 6*10*7 = 420 см2
Зауважимо, що в разі правильної призми будь-якого типу її бічна поверхня утворена однаковими прямокутниками. У прикладах вище площа кожного з них становила a*h = 70 см2.
Розрахунок для косокутної призми
Визначення значення площі бічної поверхні фігури виконати дещо складніше, ніж для прямокутної. Тим не менш наведена вище формула залишається тією ж самою, тільки замість периметра підстави слід взяти периметр перпендикулярного зрізу, а замість висоти – довжину бічного ребра.
Малюнок вище демонструє чотирикутну косокутну призму. Заштрихований паралелограм – це і є той перпендикулярний зріз, периметр якого Psr необхідно розрахувати. Довжина бічного ребра на малюнку позначена буквою C. Тоді отримуємо формулу:
Sb = Psr*C
Периметр зрізу можна знайти, якщо відомі кути паралелограмів, утворюють бічну поверхню.
