Обчислення площ фігур є однією з пріоритетних задач геометрії на площині і в просторі. У цій статті розглянемо об’ємну фігуру піраміду. І покажемо, які формули площі підстави піраміди слід застосовувати для обчислення цієї величини.
Що являє собою піраміда?
Відповідь на це питання не настільки очевидний, як багатьом може здатися. Коли люди чують слово “піраміда”, то в їх уяві спливає велике кам’яне спорудження єгипетських фараонів. Однак це лише окремий випадок фігур цього класу.
З точки зору точної науки геометрії, піраміда є фігурою в просторі, утвореної n-кутником, кожна з вершин якого з’єднана з однією єдиною точкою. Ця точка в площині n-кутника перебувати не має. Тут n – ціле число, рівне кількості кутів (сторін) плоского многокутника. Для наочного уявлення описаної фігури наведемо фотографію.
Тут зображений набір самих різних пірамід. Верхня ліва називається трикутною, оскільки її основа є трикутником. Нижня права піраміда називається двадцатиугольной.
Ця фотографія дозволяє зробити деякі висновки, що стосуються пірамід. По-перше, сторони, які з’єднують n-кутник з вершиною фігури, являють собою трикутники. По-друге, кількість сторін будь піраміди дорівнює n+1 (один n-кутник і n трикутників), n-кутник називають основою, а трикутники – бічними гранями. По-третє, можна помітити, що збільшення сторін підстави наближає піраміду за своєю формою до конусу. Цей факт дозволяє вважати конус пірамідою з нескінченним числом бічних граней.
Правильні і неправильні фігури
Ми з’ясували, що таке основа фігури. Тим не менш, до того як почати обговорення формули площі підстави піраміди, слід дати визначення правильних і неправильних фігур цього класу.
Кожен школяр знає, що будь-який плоский багатокутник має геометричний центр. Якщо багатокутник виготовити з однорідного матеріалу, то геометричний центр збігається з центром мас. Наприклад, геометричний центр прямокутника – це точка, де його діагоналі перетинаються, для трикутника він знаходиться в точці перетину медіан. Концепція геометричного центру пов’язана з поняттями правильної і неправильної піраміди.
Вище було згадано про вершині піраміди. Вона відповідає точці, де перетинаються всі трикутні бічні грані фігури. Якщо з вершини опустити перпендикуляр до основи, то довжина отриманого відрізка буде відповідати відстані від вершини до підстави. Цей відрізок називається висотою фігури.
Якщо висота перетинає багатокутник в його геометричному центрі, то піраміда називається прямою. Якщо підставою прямий піраміди буде многокутник, має сторони однакової довжини і рівні між собою кути, то піраміда називається правильною. Відповідно, якщо яке-небудь з названих умов не виконується, то кажуть про неправильну піраміду.
Згідно до описаної класифікації, піраміда Хеопса є правильної чотирикутної, що має в основі квадрат.
Площа основи правильної піраміди
Для обчислення площі підстави піраміди слід використовувати відповідні формули для конкретного n-кутника. Наприклад, у разі трикутника – це витвір висоти на підставу, яке поділене навпіл, у разі паралелограма – це твір боку на опущену на неї висоту.
Якщо n-кутник є правильним, то формула площі підстави піраміди буде універсальною. Запишемо її:
Sn = n/4*a2*ctg(pi/n)
Де параметр a – це довжина сторони n-вугільного підстави. Ця формула справедлива незалежно від того, розглядається трикутна або стоугольная піраміда. Функцію котангенса слід обчислювати за допомогою калькулятора, однак для 3-, 4 – і 6-кутника вона має табличне значення.
Відзначимо, що цією формулою можна користуватися, якщо основа піраміди – це правильний багатокутник. Справедливість формули не залежить від того, є піраміда прямий або похилої.
Трикутна піраміда правильна
Рівносторонній трикутник є підставою правильної трикутної піраміди. Площа підстави її можна визначити, якщо застосувати записану в пункті вище формулу для Sn. Враховуючи, що n = 3, одержуємо:
S3 = n/4*a2*ctg(pi/n) = 3/4*a2*ctg(pi/3) = √3/4*a2
Знаючи довжину підстави a, можна розрахувати відповідну площу.
Цікаво відзначити, що у трикутній піраміді, яку часто називають тетраедром, всі чотири сторони трикутниками. У правильної фігури в загальному випадку тільки одна із сторін представляє собою рівносторонній трикутник (основа). Інші грані трикутниками равнобедренными.
Правильна чотирикутна піраміда
Мабуть, вона є найвідомішою серед класу пірамід. Формула для площі підстави піраміди правильної чотирикутної відома школяреві вже в початкових класах, оскільки йдеться про площі квадрата. Слідуючи загальному підходу, скористаємося виразом для Sn. Підставляючи n = 4, отримуємо:
S4 = 4/4*a2*ctg(pi/4) = a2
Наприклад, знайдемо площу основи чотирикутної піраміди Хеопса. Довжина сторони її основи становить приблизно 230 метрів. Це означає, що відповідна площа дорівнює 52,9 тис. м2, що більше площі 10 футбольних полів.
