Призма є досить простої геометричної об’ємною фігурою. Тим не менш у деяких школярів при визначенні її основних властивостей виникають проблеми, причина яких, як правило, пов’язана з неправильно використовуваної термінології. У цій статті розглянемо, які призми бувають, як вони називаються, а також детально охарактеризуємо правильну чотирикутну призму.
Призма в геометрії
Вивчення об’ємних фігур є завданням стереометрії – важливої частини просторової геометрії. У стереометрії під призмою розуміють таку фігуру, яка утворена паралельним перенесенням довільного плоского многокутника на певну відстань в просторі. Паралельний перенесення передбачає таке переміщення, при якому поворот навколо осі, перпендикулярної до площини многокутника, повністю виключений.
В результаті описаного способу отримання призми утворюється фігура, обмежена двома багатокутниками, що мають однакові розміри, що лежать у паралельних площинах, і деяким числом паралелограмів. Їх кількість відповідає кількості сторін (вершин) багатокутника. Однакові многокутники називаються основами призми, а площа їх поверхні – це площа підстав. Паралелограми, що з’єднують дві підстави, утворюють бічну поверхню.
Елементи призми і теорема Ейлера
Оскільки розглянута об’ємна фігура являє собою полиэдр, тобто утворена набором пересічних площин, то вона характеризується деякою кількістю вершин, ребер і граней. Всі вони є елементами призми.
У середині XVIII століття швейцарський математик Леонард Ейлер встановив зв’язок між кількістю основних елементів полиэдра. Цей зв’язок записується такою простою формулою:
Число ребер = кількість вершин + число граней – 2
Для будь-якої призми це справедливо рівність. Наведемо приклад його використання. Припустимо, є правильна чотирикутна призма. Вона зображена на малюнку нижче.
Видно, що число вершин для неї дорівнює 8 (по 4 для кожного чотирикутного підстави). Кількість сторін, або граней становить 6 (2 підстави і 4 бічних прямокутника). Тоді кількість ребер для неї буде дорівнює:
Число ребер = 8 + 6 – 2 = 12
Всі їх можна порахувати, якщо звернеться до того ж малюнка. Вісім ребер лежать в підставах, а чотири ребра перпендикулярні цих підстав.
Повна класифікація призм
З цією класифікацією важливо розібратися, щоб потім не плутатися в термінології і використовувати правильні формули для обчислення, наприклад, площі поверхні або об’єму фігур.
Для будь-якої призми довільної форми можна виділити 4 ознаки, які будуть її характеризувати. Перерахуємо їх:
- За кількістю кутів багатокутника на підставі: трикутна, п’ятикутна, восьмикутна і так далі.
- За типом багатокутника. Він може бути правильним або неправильним. Наприклад, прямокутний трикутник є неправильним, а рівносторонній – правильним.
- За типом опуклості многокутника. Він може бути увігнутим або опуклим. Найчастіше зустрічаються випуклі призми.
- По кутах між засновками і бічними параллелограммами. Якщо всі ці кути рівні 90o, то говорять про прямий призми, якщо не всі з них є прямими, то таку фігуру називають косокутної.
З усіх цих пунктів хотілося б зупинитися докладніше на останньому. Пряма призма називається прямокутною. Пов’язано це з тим, що для неї паралелограми є прямокутниками в загальному випадку (в деяких випадках вони можуть бути квадратами).
Для прикладу на малюнку вище зображена п’ятикутна увігнута прямокутна, або пряма фігура.
Правильна чотирикутна призма
Підстава цієї призми являє собою правильний чотирикутник, тобто квадрат. Вище на рисунку вже було показано, як виглядає ця призма. Крім двох квадратів, які її обмежують зверху і знизу, вона також включає 4 прямокутника.
Позначимо сторону основи правильної чотирикутної призми буквою a, довжину її бічного ребра позначимо літерою c. Ця довжина також є висотою фігури. Тоді площа всієї поверхні цієї призми виразиться формулою:
S = 2*a2 + 4*a*c = 2*a*(a + 2*c)
Тут перший доданок відображає внесок підстав загальну площу, другий доданок – це площа бічної поверхні.
Враховуючи введені позначення для довжин сторін, запишемо формулу для об’єму даної фігури:
V = a2*c
Тобто обсяг обчислюється як твір площі квадратного підстави на довжину бічного ребра.
Фігура куб
Всі знають цю ідеальну об’ємну фігуру, але мало хто замислювався, що вона являє собою правильну чотирикутну призму, сторона якої дорівнює довжині сторони квадратного підстави, тобто c = a.
Для куба формули повної площі поверхні та об’єму приймуть вигляд:
S = 6*a2
V = a3
Оскільки куб – це призма, що складається з 6 однакових квадратів, то будь-яку паралельну пару з них можна вважати підставою.
Куб – це высокосимметричная фігура, яка в природі реалізується у вигляді кристалічних решіток багатьох металевих матеріалів і іонних кристалів. Наприклад, решітки золота, срібла, міді і кухонної солі є кубічними.
