Геометрія є важливою частиною математики, яку починають вивчати в школах з 7 класу в якості окремого предмета. Що таке геометрія? Що вона вивчає? Які корисні висновки можна з неї витягти? Всі ці питання докладно розглядаються в статті.
Поняття про геометрію
Під цією наукою розуміють гілка математики, що займається вивченням властивостей різних фігур на площині і в просторі. Саме слово “геометрія” з давньогрецької мови означає “вимірювання землі”, тобто будь-які реальні або уявлювані об’єкти, які мають кінцеву довжину вздовж хоча б однієї з трьох осей координат (наш простір є тривимірним), піддаються вивченню даної наукою. Можна сказати, що геометрія – математика простору і площини.
В ході свого розвитку геометрія обзавелася набором понять, якими вона оперує з метою вирішення різних завдань. До таких понять належать точка, пряма, площина, поверхня, відрізок, коло, крива, кут та інші. Основою цієї науки є аксіоми, тобто концепції, що зв’язують геометричні поняття в рамках тверджень, які приймаються в якості істинних. На підставі аксіом будуються і доводяться теореми.
Коли з’явилася ця наука
Що таке геометрія з точки зору історії? Тут слід сказати, що вона є дуже давнім вченням. Так, її використовували стародавні вавілоняни при визначенні периметрів та площ простіших фігур (прямокутників, трапецій та ін). Розвинена вона була і в Стародавньому Єгипті. Досить згадати знамениті піраміди, будівництво яких було б неможливо без знання властивостей об’ємних фігур, а також без уміння орієнтуватися на місцевості. Зазначимо, що знамените число “пі” (його приблизне значення), без якого неможливо визначити параметри кола, було відомо єгипетським жерцям.
Розрізнені знання про властивості плоских і об’ємних тіл були зібрані в єдину науку тільки за часів Античної Греції завдяки діяльності її філософів. Найважливішим працею, на якому ґрунтуються сучасні геометричні навчання, є “Елементи” Евкліда, які були їм складені приблизно в 300 році до нашої ери. Близько 2000 років цей трактат був основою для кожного вченого, який займався дослідженням просторових властивостей тел.
У XVIII столітті французький математик і філософ Рене Декарт заклав основи так званої аналітичної науки геометрії, яка описувала за допомогою чисельних функцій будь-просторовий елемент (пряму, площину і так далі). З цього часу починають з’являтися багато гілки в геометрії, причиною існування яких є п’ятий постулат в “Елементах” Евкліда.
Евклідова геометрія
Що таке геометрія Евкліда? Це досить струнке вчення про просторові властивості ідеальних об’єктів (точок, прямих, площин і т. д.), яке грунтується на 5 постулатах або аксіомах, викладених у праці під назвою “Елементи”. Аксіоми наведено нижче:
- Якщо дано дві точки, то можна провести лише одну пряму, яка їх з’єднає.
- Кожен відрізок можна продовжити нескінченно з будь-якого його кінця.
- Будь-яка точка простору дозволяє накреслити коло довільного радіуса так, щоб сама точка знаходилася в центрі.
- Усі прямі кути є подібними або конгруэнтными.
- Через кожну точку, яка не належить даній прямій, можна провести лише одну лінію, паралельну їй.
Евклідова геометрія становить основу будь-якого сучасного шкільного курсу по цій науці. Більше того, саме нею людство користується в процесі своєї життєдіяльності при конструюванні будівель і споруд та при складанні топографічних карт. Тут важливо зазначити, що набір постулатів в “Елементах” не є повним. Він був розширений німецьким математиком Давидом Гильбертом на початку XX століття.
Види евклідової геометрії
Ми розібралися, що таке геометрія. Розглянемо, які бувають види. В рамках класичного вчення прийнято виділяти два види цієї математичної науки:
- Планіметрія. Вона вивчає властивість плоских об’єктів. Наприклад, розрахунок площі трикутника або знаходження його невідомих кутів, визначення периметра трапеції або довжини кола – це завдання планіметрії.
- Стереометрія. Об’єктами вивчення цієї гілки геометрії є просторові фігури (всі точки, які їх утворюють, лежать у різних площинах, а не в одній). Так, визначення об’єму піраміди або циліндра, вивчення властивостей симетрії куба і конуса – це приклади задач стереометрії.
Неевклидовы геометрії
Що таке геометрія в її широкому розумінні? Крім звичної нам науки про просторові властивості тіл, існують також неевклидовы геометрії, у яких п’ятий постулат в “Елементах” порушується. До них відносяться еліптична і гіперболічна геометрія, які були створені в XIX столітті німецьким математиком Георгом Риманом і російським ученим Миколою Лобачевским.
Спочатку вважали, що неевклидовы геометрії мають вузьку сферу застосування (наприклад, в астрономії при вивченні небесної сфери), а саме фізичне простір являється евклідовим. Помилковість останнього твердження показав Альберт Ейнштейн на початку XX століття, розробивши свою теорію відносності, в якій він узагальнив поняття простору і часу.
Геометрія в школі
Як було сказано вище, вивчення геометрії в школі починається з 7 класу. При цьому школярам демонструють основи планіметрії. Геометрія 9 класу вже включає вивчення тривимірних тіл, тобто стереометрії.
Головне завдання шкільного курсу полягає в тому, щоб розвинути у школярів абстрактне мислення і уяву, а також навчити їх мислити логічно.
Багато досліджень показали, що при вивченні цієї науки у школярів спостерігаються проблеми з абстрактним мисленням. Коли формулюється для них геометрична задача, вони часто не розуміють її суть. У старшокласників до проблеми з уявою додаються труднощі розуміння математичних формул для визначення об’єму та площі поверхні розверстки просторових фігур. Часто старшокласники при вивченні геометрії 9 класу не знають, якою формулою слід скористатися в конкретному випадку.
Шкільні підручники
Існує велика кількість навчальних посібників для навчання школярів цій науці. Одні з них дають тільки базові знання, наприклад, підручники Л. С. Атанасяна або А. В. Погорєлова. Інші переслідують мета поглибленого вивчення науки. Тут можна виділити підручник А. Д. Александрова або повний курс геометрії Бевза Р. П.
Оскільки в останні роки для здачі всіх екзаменів у школі запроваджено єдиний стандарт ЄДІ, стали необхідні підручники і решебники, які дозволяють учневі швидко самостійно розібратися з необхідною темою. Гарним прикладом таких посібників можна назвати геометрію Єршової А. П., Голобородько Ст. Ст.
Будь-який з названих вище підручників має як позитивні, так і негативні відгуки з боку вчителів, тому викладання геометрії в школі часто здійснюється з використанням кількох підручників.
