Стереометрія – це розділ геометрії, що вивчає фігури, які не лежать в одній площині. Одним з об’єктів вивчення стереометрії є призми. У статті дамо визначення призмі з геометричної точки зору, а також коротко перерахуємо властивості, які для неї характерні.
Геометрична фігура
Визначення призми в геометрії звучить наступним чином: це просторова фігура, що складається з двох однакових n-кутників, що розташовані в паралельних площинах, з’єднаних один з одним своїми вершинами.
Отримати призму не представляє ніякої праці. Уявимо, що є два однакових n-кутника, де n – це число сторін або вершин. Помістимо їх так, щоб вони були паралельні один одному. Після цього вершини одного многокутника слід з’єднати з відповідними вершинами іншого. Утворена фігура буде складатися з двох n-вугільних сторін, які називаються підставами, і n чотирикутних сторін, що представляють собою в загальному випадку паралелограми. Сукупність паралелограмів утворює бічну поверхню фігури.
Існує ще один спосіб геометричного отримання даної фігури. Так, якщо взяти n-кутник і зробити його перенесення в іншу площину за допомогою паралельних відрізків рівної довжини, то в новій площині ми отримаємо вихідний багатокутник. Обидва багатокутника і всі паралельні відрізки, проведені з їх вершин, що утворюють призму.
Малюнок вище демонструє трикутну призму. Так вона називається тому, що її заснування являють собою трикутники.
Елементи, з яких складається фігура
Вище було дано визначення призми, з якого зрозуміло, що головними елементами фігури є її межі або сторони, що обмежують всі внутрішні точки призми від зовнішнього простору. Будь-яка грань розглянутої фігури належить до одного з двох типів:
- бічна;
- підстави.
Бічних n штук, і вони є параллелограммами або їх приватними видами (прямокутниками, квадратами). У загальному випадку бічні грані відрізняються один від одного. Граней основи всього дві, вони являють собою n-кутники і одне одному рівні. Таким чином, всяка призма має n+2 сторони.
Крім сторін, фігура характеризується своїми вершинами. Вони являють собою точки, де стикаються одночасно три грані. Причому дві з трьох граней завжди належать бічній поверхні, а одна – основи. Таким чином, у призмі немає спеціально виділеній однієї вершини, як, наприклад, в піраміді, всі вони є рівноправними. Число вершин фігури дорівнює 2*n (за n штук для кожного підстави).
Нарешті, третім важливим елементом призми є її ребра. Це відрізки певної довжини, які утворюються в результаті перетину сторін фігури. Як і грані, ребра також мають два різних типи:
- або утворені тільки бічними сторонами;
- або виникають на стику паралелограма та сторони n-вугільного підстави.
Число ребер, таким чином, дорівнює 3*n, причому 2*n з них відносяться до другого з названих типів.
Види призм
Виділяють кілька способів класифікації призм. Проте всі вони засновані на двох особливості фігури:
- на типі n-вугільного підстави;
- на типі бічної сторони.
Для початку звернемося до другої особливості і дамо визначення похилій призми і прямий. Якщо хоча б одна бічна сторона є паралелограмом загального типу, то фігура називається похилою, або косокутної. Якщо ж всі паралелограми являють собою прямокутники або квадрати, то призма буде прямою.
Дати означення прямої призми можна також дещо інакше: пряма фігура – це та призма, у якої бічні ребра та грані перпендикулярні її підстав. На малюнку показані дві чотирикутні фігури. Ліва є прямою, права – вниз.
Тепер перейдемо до класифікації згідно типу n-кутника, що лежить в основах. Він може мати однакові сторони і кути або різні. У першому випадку многокутник називається правильним. Якщо розглянута фігура містить у підставі багатокутник з рівними сторонами і кутами і є прямою, то вона називається правильною. Згідно з цим визначенням, правильна призма на підставі може мати рівносторонній трикутник, квадрат, правильний п’ятикутник або шестикутник і так далі. Перераховані правильні фігури представлені на малюнку.
Лінійні параметри призм
Для опису розмірів розглянутих фігур використовують наступні параметри:
- висота;
- сторони підстави;
- довжини бічних ребер;
- об’ємні діагоналі;
- діагоналі бічних сторін і підстав.
Для правильних призм всі названі величини пов’язані один з одним. Наприклад, довжини бічних ребер однакові і дорівнюють висоті. Для конкретної n-вугільної правильної фігури існують формули, які дозволяють за двома будь-яким лінійним параметрами визначити всі інші.
Поверхня фігури
Якщо звернутися до даного вище визначення призми, то зрозуміти, що являє поверхню фігури, буде нескладно. Поверхня – це площа всіх граней. Для прямої призми вона обчислюється за формулою:
S = 2*So + Po*h
де So – площа підстави, Po – периметр n-кутника в підставі, h – висота (відстань між підставами).
Обсяг фігури
Поряд з поверхнею для практики важливо знати об’єм призми. Визначити його можна за наступною формулою:
V = So*h
Цей вираз справедливий для будь-якого виду призм, включаючи ті, які є похилими і утворені правильними многокутниками.
Для правильних призм обсяг є функцією довжини сторони основи і висоти фігури. Для відповідної n-вугільної призми формула для V має конкретний вид.
