Тригонометрії є важливою частиною математики, знання якої широко використовуються в астрономії і при орієнтуванні на місцевості. У даній статті розглядається визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенса як основних тригонометричних функцій.
Що таке тригонометрії?
Це наука, яка вивчає кількісні властивості трикутників, про що говорить її назва. Процес вивчення цих простих плоских фігур здійснюється з використанням так званих тригонометричних функцій.
Ще у стародавньому Вавилоні та Єгипті люди стикалися з завданнями, які вимагають знання співвідношення між сторонами і кутами трикутника (наприклад, при будівництві єгипетських пірамід). Проте до нашого часу не дійшли точні свідчення того, що вавілоняни і єгиптяни мали необхідної математичної теорією для рішення задач подібного роду.
Розвиток тригонометрії отримала на зорі нашої ери, завдяки досягненням давньогрецьких вчених. Перші таблиці тригонометричних функцій були складені лише у другій половині XV століття.
Прямокутний трикутник
Перед тим як давати визначення синуса і іншим тригонометричним функціям, необхідно пояснити, що являє собою прямокутний трикутник. У нього один з кутів дорівнює 90 o.
Знаючи, що сума кутів в цій фігурі дорівнює 180 o, можна з упевненістю сказати, що два інших кути в сумі складуть 90o. При цьому кожен з них буде менше, ніж прямий кут.
Сторони прямокутного трикутника мають назви. Відрізок, що лежить проти прямого кута, називається гіпотенузою. Дві інші сторони – це катети.
Введення тригонометричних функцій
Тепер можна дати визначення синуса і косинусу кута, а також тангенсу і котангенсу. Для цього побудуємо коло одиничного радіуса. Нижче на малюнку представлений трикутник АВС, у якого відрізок AB = 1 – є гіпотенузою (радіус кола), AC і CB – катети.
Даючи визначення синуса кута, слід сказати, що він дорівнює відношенню відрізка BC до відрізку AB. Записується це наступним чином: sin(θ) = BC/AB. Оскільки AB = 1, sin(θ) = BC. Іншими словами, під синусом кута прямокутного трикутника розуміють відношення катета, що лежить навпроти цього кута, до гіпотенузі.
Тепер визначення косинуса кута. Це відношення катета, прилеглого до розглянутого кутку, до гіпотенузі. Для малюнка вище маємо: cos(θ) = AC/AB = AC.
Тангенс кута – це тригонометрична функція, яка визначається відношенням катета, противолежащего до даного кутку, до прилежащему катету. Тобто tg(θ) = BC/AC.
Нарешті, котангенс кута – це відношення прилеглого катета до протилежного, тобто ctg(θ) = AC/BC.
Властивості синуса та інших тригонометричних функцій
З введених визначень синуса, косинуса кута та інших функцій слідують декілька важливих висновків про їх властивості:
- По-перше, тригонометричні функції є безрозмірними величинами.
- По-друге, їх значення не залежить від розмірів трикутника. Останній факт легко довести, якщо звернутися до того ж малюнку вгорі і розглянути трикутники ABC і AFE. Ці трикутники є подібними, так як мають спільний кут у вершині A, це означає, що виконується наступна рівність: BC/AB = FE/AF = sin(θ). Аналогічні рівності можна привести для інших тригонометричних функцій.
- По-третє, будь-яка тригонометрична функція може бути виражена з використанням максимум двох інших. Це твердження вірно, оскільки всі три сторони трикутника фігурують у виразах для двох тригонометричних функцій. Наприклад, tg(θ) = sin(θ)/cos(θ).
Періодичність функцій
Це властивість спеціально було винесено в окремий пункт статті, оскільки його розгляд заслуговує окремої уваги.
Якщо обертати відрізок AB (див. рис. вище) проти годинникової стрілки, то точка B пробіжить всю коло одиничного радіуса. Як при цьому будуть змінюватися тригонометричні функції?
Розглянемо синус. Згідно з визначенням синуса кута, коли θ = 0, то BC = 0, тобто sin(0o) = 0. У міру зростання кута θ, збільшується довжина відрізка BC. При цьому довжина AB залишається незмінною. Це означає, що sin(θ) постійно збільшується. Коли кут θ = 90 o, то BC=AB sin(90 o) = 1.
Подальше обертання AB проти годинникової стрілки призводить до зменшення значення синуса до нуля при куті 180 o (sin(180 o)=0).
Для кутів зі значеннями лежать між 180 o і 270 o синус знову збільшується за модулем, але зменшується в абсолютних значеннях, оскільки відрізок BC буде лежати в негативній області осі ординат. У підсумку sin(270 o) = -1.
Нарешті, в 4-му квадранті колу, коли кут змінюється від 270 o до 360o, абсолютне значення синуса збільшується, але модуль його зменшується до тих пір, поки при 360o він знову не стане рівним нулю (sin(360 o) = sin(0o) = 0).
З проведеного аналізу випливає, що синус є періодичною функцією, яка повторює свої значення кожні 360o. У тригонометрії зазвичай користуються не градусами, а радіанами. Нагадаємо, що 2*pi радіан дорівнює 360 o, де pi = 3,14 – число пі. Графік функції sin(x) наведено на головному фото статті.
Якщо провести аналогічні міркування, можна показати, що косинус – це періодична функція з таким же періодом, як і для синуса, тобто T = 2pi. Тангенс і котангенс теж є періодичними, тільки для них T =pi.
Таблиця значень тригонометричних функцій
Ця таблиця включає дані про значення синуса, косинуса, тангенса і котангенса для набору кутів. Школярів змушують вчити ці значення напам’ять.
В даний час, завдяки розвитку інформатики, всі мови програмування і калькулятори забезпечені відповідними бібліотеками, які дозволяють швидко розрахувати значення будь-якої тригонометричної функції за частки секунди.
Нижче приводиться таблиця, у якій наведені значення для всіх названих функцій набору кутів. Які представлені як в градусах, так і в радіанах. Літери “ind” означають, що функція для цього кута має невизначене значення. Крім основних чотирьох тригонометричних функцій, у таблиці також наводяться секанс (sec) і косеканс (csc), які являють собою зворотні косинус і синус, відповідно.
Теорема Піфагора та зв’язок синуса і косинуса
Оскільки визначення синуса і косинуса кута засноване на використанні прямокутного трикутника, то ці функції можна зв’язати, якщо скористатися теоремою Піфагора.
Для зображеного вище прямокутного трикутника маємо: sin(α) = b/a cos(α) = c/a. Теорема Піфагора записується так: c2 + b2 = a2. Якщо ліву і праву частини цього виразу поділити на a2, а потім підставити формули для синуса і косинуса, то отримаємо: (sin(α))2 + (cos(α))2 = 1.
