Просторова геометрія займається вивченням властивостей об’ємних фігур та їх різного взаємного розташування. Дана стаття присвячена дослідженню характеристик такого полиэдра, як піраміда. Вписані та описані фігури в конус, куб будуть розглянуті.
Просторова фігура піраміда
Піраміда – геометрична фігура, обмежена n+1 межею, з яких одна грань є гратки з n сторонами, і n граней являють собою трикутники, сполучені між собою в одній вершині.
На малюнку нижче показані дві піраміди.
Ліва фігура складається з 5 граней, де гратки є чотирикутник, права – з шести граней, оскільки її багатокутник має п’ять сторін. Чотирикутник для лівої фігури і п’ятикутник для правої є підставами. Точка, де з’єднуються трикутники – це вершина піраміди.
Як геометрична фігура піраміда довільного типу може бути отримана так: необхідно взяти n-кутник і з’єднати всі його кути з деякою фіксованою точкою в просторі, яка, однак, не повинна лежати в площині n-кутника.
Кожна піраміда складається з n+1 сторони (межі), має 2*n ребер і n+1 вершину.
Які бувають піраміди?
Всі види пірамід в геометрії відрізняються один від одного двома особливостями:
- типом багатокутного підстави;
- розташуванням вершини піраміди щодо заснування.
Почнемо з відносного положення вершини. Проведений до основи від неї перпендикуляр називається висотою фігури. Якщо висота падає на основу точно в геометричний центр, то кажуть, що піраміда є прямою. Якщо висота падає на основу в будь-якій іншій точці, то фігура є похилій.
Відповідно з типом n-кутника розрізняють опуклі і увігнуті піраміди. Крім того, багатокутник дає назву всій фігурі. Наприклад, трикутне підстава свідчить, що сама піраміда є трикутною, якщо підстава чотирикутний, то фігура називається чотирикутної пірамідою і так далі.
Особливий випадок для вирішення багатьох практичних завдань складають правильні піраміди. В геометрії під ними розуміють піраміди, що мають в основі правильний багатокутник і є прямими. Набір правильних пірамід з різними багатокутниками на підставі показаний на малюнку нижче.
Далі в статті будемо розглядати тільки такі правильні фігури при вивченні вписаних і описаних пірамід.
Правильні многокутники і окружність
Важливо розглянути ці плоскі фігури, щоб розібратися з темою вписаних і описаних пірамід. Почнемо з найпростішої з них – рівностороннього трикутника.
Рівносторонній трикутник має 3 однакові сторони і три кути по 60o. Його геометричний центр (барицентр) знаходиться в точці перетину медіан, яка також є точкою перетину висот і бісектрис. Якщо довжина сторони трикутника дорівнює a, тоді описана навколо нього коло буде проходити через усі його вершини. Її центром буде барицентр трикутника, а радіус дорівнює:
R3c = √3/3*a
Вписана окружність буде стосуватися всіх сторін трикутника. Її центр буде знаходитися в тій же точці, що і для описаної окружності. Радіус вписаного кола дорівнює:
R3i = √3/6*a
Тепер наведемо аналогічні формули для правильного чотирикутника, тобто для квадрата. Не важко показати, що радіуси кола, описаного і вписаного в квадрат, будуть рівні:
R4c = a/√2;
R4i = a/2
Де a – довжина сторони квадрата.
Запишемо формули для правильного шестикутника:
R6c = a;
R6i = a*√3/2
Тут a – довжина сторони правильного шестикутника.
Всі наведені формули знадобляться при розгляді вписаних і описаних пірамід по відношенню до конусу.
Правильні многокутники і квадрат
Перед розглядом вписаних в куб пірамід слід навести відповідні формули для довжин сторін підстави цих постатей, вписаних в квадрат. Тут розглянемо тільки два випадки чотирикутної піраміди.
У першому випадку все просто, довжина сторони куба та сторони квадратного підстави рівні, тобто:
ai = l
Тут ai – сторона основи піраміди, l – довжина сторони куба.
У другому випадку правильну чотирикутну піраміду можна вписати інакше в куб: вершини її заснування слід розташувати на серединах сторін квадрата. Тоді виходить наступна формула для ai:
ai = l/√2
Вписані в конус піраміди
Конус є об’ємною фігурою, яка в своїй основі містить коло. По суті, якщо збільшувати число сторін n-вугільного основи піраміди до нескінченності, то вона перейде в конус.
Вписана в конус, піраміда розташована повністю в його обсязі, тобто не виходить за межі підстави конуса і його конічної поверхні. Така піраміда має спільні точки з конусом в основі і у вершині.
Якщо відомий радіус основи конуса, то наведені вище формули для визначення сторін правильних многокутників (трикутника, квадрата і шестикутника), вписаних у коло, дозволяють обчислити довжину сторони основи піраміди. Наприклад, сторони фігури з правильним трикутним підставою через радіус основи конуса R3c запишеться так:
a = √3*R3c
Знаючи сторону основи і висоту піраміди h, можна визначити її характеристики. Наприклад, обсяг обчислюється за формулою:
V = 1/3*S3o*h
Де S3o – площа рівностороннього трикутника зі стороною a. Ця ж формула справедлива для об’єму конуса, тільки замість площі багатокутного підстави слід взяти площу круга, на який спирається конічна поверхня.
Описані навколо конуса піраміди
У цьому випадку маємо ситуацію, яка протилежна попередній. Тепер піраміда повністю всередині себе укладає конус. Останній має радіус основи, який пов’язаний з довжиною сторони піраміди наведеними формулами для вписаного в многокутник колу.
Наприклад, якщо слід в шестикутну піраміду зі стороною a помістити конус так, щоб його основу стосувалося всіх сторін шестикутника, тоді необхідно взяти радіус R6i основи конуса, який дорівнює:
R6i = a*√3/2
Зауважимо, що висота, як описаного конуса, так і вписаного в піраміду, завжди дорівнює такої для останньої.
Куб і піраміда
Куб являє собою правильний полиэдр, що відноситься до класу призм. Висока симетрія цієї фігури дозволяє вписувати в нього різні правильні піраміди. Найпростіше в нього вписати чотирикутні піраміди.
У найпростішому випадку вписаною піраміди її основа є однією із сторін куба. Вершина піраміди буде лежати на протилежній паралельної грані куба в центрі квадрата.
Другий варіант розташування піраміди всередині куба полягає в наступному: якщо з’єднати середини однієї із сторін куба один з одним, то вийде новий квадрат меншого розміру. Він буде підставою піраміди. Вершина її так само, як у попередньому випадку, буде розташована в середині протилежній грані куба.
Завдання з конусом і пірамідою
Припустимо, що є конусом описана піраміда. Радіус конуса дорівнює 10 див. Необхідно розрахувати об’єм піраміди, якщо відомо, що конус має висоту 15 см, а основа піраміди – правильний трикутник.
Для обчислення сторони трикутника скористаємося відповідною формулою:
a = √3*R3c = √3*10 ≈ 17,32 см
Для визначення об’єму піраміди слід обчислити площа її підстави. Вона дорівнює:
S3o = √3/4*a2 = √3/4*17,322 ≈ 129,90 см2
Враховуючи, що конус описано близько піраміди, тоді висоти цих фігур є однаковими. Підставляємо відповідні значення у формулу для об’єму піраміди, отримуємо відповідь на завдання:
V = 1/3*S3o*h = 1/3*129,90 *15 = 649,5 см3
Завдання з кубом і пірамідою
Є куб зі стороною a, в який вписана правильна чотирикутна піраміда. Необхідно обчислити відношення об’єму піраміди до нього для куба і з’ясувати, чи залежить отримана величина від довжини сторони a.
Оскільки в задачі не сказано, як конкретно вписана піраміда, слід розглянути два випадки.
У першому випадку маємо піраміду, довжина основи якої дорівнює a, висота її також дорівнює a. Тоді її обсяг складе:
V1 = 1/3*a3
Його відношення до обсягу Vc куба дорівнює:
V1/Vc = 1/3*a3/a3 = 1/3
У другому випадку вписаною піраміди в куб сторона її підстави дорівнює a/√2. Висота фігура залишається тією ж самою. Тоді її об’єм обчислюється так:
V2 = 1/3*a*(a/√2)2 = 1/6*a3
І його ставлення до Vc буде дорівнює:
V2/Vc = 1/6*a3/a3 = 1/6
Таким чином, ми отримали, що відношення обсягів чотирикутної піраміди, яка вписана в куб, і куба від довжини ребра останнього не залежить.
