Завдання з конусом і пірамідою
Припустимо, що є конусом описана піраміда. Радіус конуса дорівнює 10 див. Необхідно розрахувати об’єм піраміди, якщо відомо, що конус має висоту 15 см, а основа піраміди – правильний трикутник.
Для обчислення сторони трикутника скористаємося відповідною формулою:
a = √3*R3c = √3*10 ≈ 17,32 см
Для визначення об’єму піраміди слід обчислити площа її підстави. Вона дорівнює:
S3o = √3/4*a2 = √3/4*17,322 ≈ 129,90 см2
Враховуючи, що конус описано близько піраміди, тоді висоти цих фігур є однаковими. Підставляємо відповідні значення у формулу для об’єму піраміди, отримуємо відповідь на завдання:
V = 1/3*S3o*h = 1/3*129,90 *15 = 649,5 см3
Завдання з кубом і пірамідою
Є куб зі стороною a, в який вписана правильна чотирикутна піраміда. Необхідно обчислити відношення об’єму піраміди до нього для куба і з’ясувати, чи залежить отримана величина від довжини сторони a.
Оскільки в задачі не сказано, як конкретно вписана піраміда, слід розглянути два випадки.
У першому випадку маємо піраміду, довжина основи якої дорівнює a, висота її також дорівнює a. Тоді її обсяг складе:
V1 = 1/3*a3
Його відношення до обсягу Vc куба дорівнює:
V1/Vc = 1/3*a3/a3 = 1/3
У другому випадку вписаною піраміди в куб сторона її підстави дорівнює a/√2. Висота фігура залишається тією ж самою. Тоді її об’єм обчислюється так:
V2 = 1/3*a*(a/√2)2 = 1/6*a3
І його ставлення до Vc буде дорівнює:
V2/Vc = 1/6*a3/a3 = 1/6
Таким чином, ми отримали, що відношення обсягів чотирикутної піраміди, яка вписана в куб, і куба від довжини ребра останнього не залежить.
