Формула для суми
Коли дана деяка арифметична прогресія, то сума перших n членів є часто виникає завданням, поряд з визначенням значення n-го члена. Формула суми алгебраїчної прогресії записується в наступному вигляді: ∑n1 = n*(a1+an)/2, тут значок ∑n1 говорить про те, що підсумовуються з 1-го по n-й член.
Наведене вираз можна отримати, вдаючись до властивостям все тієї ж рекурсії, однак існує більш легкий спосіб докази його справедливості. Запишемо перші 2 і останні 2 члена цієї суми, висловивши їх в числах a1, an і d, і отримаємо: a1, a1+d,…,and, an. Тепер зауважимо, що якщо скласти перший член з останнім, то він буде точно дорівнює сумі другого і передостаннього члена, тобто a1+an. Аналогічним способом можна показати, що цю ж суму можна отримати, якщо додати третій і предпредпоследний члени, і так далі. У випадку парного кількості чисел в послідовності отримуємо n/2 сум, кожна з яких дорівнює a1+an. Тобто отримуємо вищенаведену формулу алгебраїчної прогресії для суми: ∑n1 = n*(a1+an)/2.
Для непарної кількості членів n виходить аналогічна формула, якщо слідувати наведеним міркуванням. Тільки треба не забути додати решту доданок, яке знаходиться в центрі прогресії.
Покажемо, як користуватися наведеною формулою на прикладі простій прогресії, яка була введена вище (3, 5, 7, 9, 11 …). Наприклад, необхідно визначити суму перших 15 її членів. Для початку визначимо a15. Скориставшись формулою для n-го члена (див. попередній пункт), отримуємо: a15 = a1 + (n-1)*d = 3 + (15-1)*2 = 31. Тепер можна застосувати формулу суми алгебраїчної прогресії: ∑151 = 15*(3+31 )/2 = 255.
Цікаво навести цікавий історичний факт. Формулу для суми арифметичної прогресії вперше отримав Карл Гаусс (знаменитий німецький математик XVIII століття). Коли йому було всього 10 років, то вчитель поставив завдання, знайти суму чисел від 1 до 100. Кажуть, що малий Гаусс вирішив цю задачу за кілька секунд, помітивши, що попарно підсумовуючи числа з початку і кінця послідовності, завжди можна отримати 101, а оскільки таких сум 50, то він швидко видав відповідь: 50*101 = 5050.
