Завдання №2. Складання та розв’язання рівняння по заданому умові
У наведеному далі прикладі формула з дискриминантом також знадобиться для його розв’язання. Отже, умова формулюється наступним чином: знайти число, подвійний квадрат якого перевершує його на 45. Записуємо мовою математики це умова: 2 * x2 – x = 45. Тобто знову задача зводиться до знаходження невідомого x в квадратному рівнянні.
Перенесемо всі члени в ліву частину рівності і обчислимо дискриминант: D = 1 – 4 * 2 * (-45) = 361. Корінь цього числа дорівнює 19. Тому рішеннями рівняння будуть числа: x = (1 ± 19) / (2 * 2) = (5; -4,5).
Перевіримо цей результат: 2 * 52 = 50, що дійсно перевершує число 5 на 45; 2 * (-4,5)2 = 40,5, це число також задовольняє умові (40,5 – (-4,5) = 45).
Завдання №3. Визначення сторін прямокутного трикутника
Ще одним прикладом з дискриминантом квадратного рівняння є наступна задача: відомо, що різниця між двома сторонами прямокутника дорівнює 70 див. Необхідно знайти його боку, якщо діагональ фігури дорівнює 130 див.
Умова задачі дозволяє скласти систему з двох рівнянь:
x1 – x2 = 70
(x1)2 + (x2)2 = 1302.
Тут x1 і x2 – невідомі сторони прямокутника. Пояснимо, звідки взялося друге рівняння. Оскільки діагональ прямокутника утворює з двома його сторонами трикутник з кутом 90 o, то сторони, які дорівнюють x1 і x2, є катетами, тому можна скористатися їх зв’язком з діагоналлю -гіпотенузою (теорема Піфагора).
Висловивши з першого рівняння x2, підставивши її значення у друге рівняння, розкривши в ньому дужки, отримуємо: 2 * (x1)2 – 140 * x1 – 12 000 = 0. Вирішуємо це класичне рівняння квадратне: D = (140)2 – 4 * 2 * (-12 000) = 115600. Використання калькулятора дозволяє розрахувати корінь з цього числа, він дорівнює 340. Корені цього рівняння рівні: x1 = (140 ± 340) / 4 = (120; -50). Від’ємне число слід відразу відкинути, оскільки сторона прямокутника – позитивна величина.
Підставляючи x1 = 120 см в перше рівняння системи, отримуємо, що x2 = 50 див.
Таким чином, невідомі сторони прямокутника дорівнюють 120 см і 50 см
